A água está saindo de um tanque em forma de cone invertido a uma taxa de 5 cm^3 / min no mesmo instante em que a água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 40 cm de altura e seu diâmetro no topo é de 10 cm . Se 0 nível da água está subindo a uma taxa de 30 cm/min, quando a altura era de 1 cm, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro;

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com altura de 40 cm e diâmetro no topo de 10 cm. A água está saindo desse tanque a uma taxa de 5 cm³/min enquanto água está sendo bombeada para dentro. Quando a altura da água está aumentando a uma taxa de 30 cm/min e a altura é de 1 cm, precisamos descobrir qual é a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo relacionado a taxas de variação e geometria de cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o raio da água no tanque e a altura da água. O tanque é um cone invertido, então a proporção entre o raio ® e a altura (h) é constante.
Sabemos que:
  • Altura total do tanque (H) = 40 cm
  • Diâmetro no topo = 10 cm, então o raio no topo ® = 5 cm
A proporção:
Portanto, o raio da água quando a altura é h é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o volume da água no tanque em função da altura h. O volume V de um cone é dado por:
Substituindo r por :

Passo 4

Vamos derivar o volume em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação. Derivando V:
Aqui, representa a taxa de variação do volume da água no tanque.

Passo 5

Sabemos que a água está saindo a uma taxa de 5 cm³/min e a altura está aumentando a uma taxa de 30 cm/min quando h = 1 cm. A taxa com que a água está sendo bombeada para dentro ( ) é a soma da taxa de saída e da taxa de aumento do volume:
Substituindo os valores:
Então:

Resposta

A taxa com que a água está sendo bombeada para dentro é:

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