A água está saindo de um tanque em forma de cone invertido a uma taxa de 5
no mesmo instante em que a água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 40 cm de altura e seu diâmetro no topo é de 10 cm . Se 0 nível da água está subindo a uma taxa de
, quando a altura era de
, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro;
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com altura de 40 cm e diâmetro no topo de 10 cm. A água está saindo desse tanque a uma taxa de 5 cm³/min enquanto água está sendo bombeada para dentro. Quando a altura da água está aumentando a uma taxa de 30 cm/min e a altura é de 1 cm, precisamos descobrir qual é a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo relacionado a taxas de variação e geometria de cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o raio da água no tanque e a altura da água. O tanque é um cone invertido, então a proporção entre o raio ® e a altura (h) é constante.
Sabemos que:
- Altura total do tanque (H) = 40 cm
- Diâmetro no topo = 10 cm, então o raio no topo ® = 5 cm
A proporção:
Portanto, o raio da água quando a altura é h é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o volume da água no tanque em função da altura h. O volume V de um cone é dado por:
Substituindo r por
:
Passo 4
Vamos derivar o volume em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação. Derivando V:
Aqui,
representa a taxa de variação do volume da água no tanque.
Passo 5
Sabemos que a água está saindo a uma taxa de 5 cm³/min e a altura está aumentando a uma taxa de 30 cm/min quando h = 1 cm. A taxa com que a água está sendo bombeada para dentro (
) é a soma da taxa de saída e da taxa de aumento do volume:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
A taxa com que a água está sendo bombeada para dentro é:
Exercícios relacionados
Determine a área de superfície da parte do plano
que está acima do retângulo
Calcule o valor de
onde a função
não possui derivada primeira (justifique a sua resposta)
O Método de Newton tem como objetivo o de determinar numericamente soluções para a equação
. Ou seja,
é um zero de
a ser encontrado. É necessário supor que
seja uma função derivável no intervalo de busca
que contém
e um certo
escolhido arbitrariamente. Além disso, também é necessário que a
. O método, explicado em aula, consiste em gerar uma sequência
, inciando em
que converge para
através da fórmula:
28) .
28)
Calcule a integral tripla
em que
e
é o tetraedro sólido com vértices
,
e