Calcule a integral tripla integral triplaT f(x, y, z) d V em que f(x, y, z)=18 e T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,-3), (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o tetraedro com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. Como é um tetraedro, vamos identificar as faces que formam esse sólido. Os vértices nos dizem que está limitado pelos planos que passam por essas coordenadas.

Passo 3

Vamos encontrar as equações dos planos que formam as faces do tetraedro. Observando os vértices, percebemos que varia de -3 a 3, e para cada , e têm limites que dependem de .

Passo 4

Agora, estabelecemos os limites de integração. Primeiro, varia de -3 a 3. Para cada , varia de 0 a , e para cada , varia de 0 a .

Passo 5

Com os limites definidos, configuramos a integral tripla:
integral triplaT 18 , dV = integral-3^3 integral0^1 - |z|3 integral0^1 - x 18 , dy , dx , dz
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Começamos integrando em relação a integral0^1 - x 18 , dy = 18y |0^1 - x = 18(1 - x) :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 - |z|3 18(1 - x) , dx = 18 [ x - x^22 ] |0^1 - |z|3 = 18 ( (1 - |z|3) - (1 - |z|3)^22 ) :

Passo 8

Simplificamos a expressão obtida:
18 (1 - |z|3 - 12 (1 - 2|z|3 + z^29)) = 18 ( 12 - |z|6 - z^218 )

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a 18 integral-3^3 ( 12 - |z|6 - z^218 ) dz de -3 a 3:
Calculando essa integral, obtemos o volume multiplicado por 18.

Resposta

Após calcular todas as integrações, o valor final da integral tripla é .

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