Calcule a integral tripla em que e é o tetraedro sólido com vértices , e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o tetraedro com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração tripla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. Como é um tetraedro, vamos identificar as faces que formam esse sólido. Os vértices nos dizem que está limitado pelos planos que passam por essas coordenadas.
Passo 3
Vamos encontrar as equações dos planos que formam as faces do tetraedro. Observando os vértices, percebemos que varia de -3 a 3, e para cada , e têm limites que dependem de .
Passo 4
Agora, estabelecemos os limites de integração. Primeiro, varia de -3 a 3. Para cada , varia de 0 a , e para cada , varia de 0 a .
Passo 5
Com os limites definidos, configuramos a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Começamos integrando em relação a :
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^1 - |z|3 18(1 - x) , dx = 18 [ x - x^22 ] |0^1 - |z|3 = 18 ( (1 - |z|3) - (1 - |z|3)^22 ) :