O Método de Newton tem como objetivo o de determinar numericamente soluções para a equação f(x_r) = 0. Ou seja, x = xr é um zero de f a ser encontrado. É necessário supor que f seja uma função derivável no intervalo de busca (a, b) que contém xr e um certo x_0 escolhido arbitrariamente. Além disso, também é necessário que a f'(x) ≠ 0 em (a, b). O método, explicado em aula, consiste em gerar uma sequência x_k, inciando em x_0 que converge para xr através da fórmula:
28) x_{k+1} = x_{k} - (x_{k}^{2} - 2) / (2 * x_{k}), x_{0} = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método de Newton. A ideia aqui é encontrar uma solução para a equação de forma numérica. No nosso caso, a função é e queremos encontrar o valor de que faz com que . Para isso, vamos usar a fórmula do Método de Newton, que gera uma sequência de aproximações começando de um valor inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função e sua derivada. Temos:
A derivada de é:
A fórmula do Método de Newton é:
Substituindo e na fórmula, fica:
Inicialmente, foi dado . Vamos começar a calcular as próximas aproximações.

Passo 3

Primeira iteração ( ):
Então, .

Passo 4

Segunda iteração ( ):
Então, .

Passo 5

Terceira iteração ( ):
Então, .

Resposta

Após três iterações, a aproximação para a solução da equação é .

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