Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz $ A $ de tamanho $ 3 \times 3 $ onde cada elemento $ a_{ij} $ é dado por $ i + j $. O que a gente precisa fazer é calcular o determinante dessa matriz $ \det A $ e o determinante da matriz transposta $ \det A^T $. Pra isso, vamos precisar saber como construir a matriz, entender o que é determinante e como calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz $ A $ usando a fórmula $ a_{ij} = i + j $. Isso significa que cada elemento da matriz é a soma do índice da linha $ i $ com o índice da coluna $ j $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz $ A $, que é uma medida que nos dá uma ideia se a matriz é invertível e outras propriedades importantes. Para calcular o determinante de uma matriz $ 3 \times 3 $, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
A regra de Sarrus para uma matriz $ 3 \times 3 $ diz que:
Substituindo os valores da matriz $ A $:
Calculando cada termo:
Somando e subtraindo:
Passo 4
Agora, sobre a transposta da matriz $ A $, que é a matriz $ A^T $, ela é simplesmente a matriz $ A $ com as linhas e colunas trocadas. Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, ou seja, $ \det A = \det A^T $.
Resposta
O determinante de $ A $ é $ 0 $ e o determinante de $ A^T $ também é $ 0 $.