Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Se U tem 35 elementos, A tem 20 elementos, A ∩ B tem 6 elementos e A ∪ B tem 28 elementos, determine o número de elementos dos conjuntos:
a) B
b) A - B
c) B - A
d) \bar A
e) \bar B
f) \bar A ∩ B
g) \bar A - B
h) \bar A ∩ \bar B
a) B
b) A - B
c) B - A
d) \bar A
e) \bar B
f) \bar A ∩ B
g) \bar A - B
h) \bar A ∩ \bar B
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto universo $ U $ com 35 elementos e dois subconjuntos $ A $ e $ B $. Sabemos que $ A $ tem 20 elementos, a interseção $ A \cap B $ tem 6 elementos e a união $ A \cup B $ tem 28 elementos. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para descobrir o número de elementos em várias partes envolvendo $ A $ e $ B $.
Passo 2
a) Número de elementos de $ B $
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da união de dois conjuntos:
Substituindo os valores que temos:
Resolvendo para $ |B| $:
Passo 3
b) Número de elementos de $ A - B $
$ A - B $ representa os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $. Para encontrar isso, subtraímos a interseção de $ A $ e $ B $ do total de $ A $:
Passo 4
c) Número de elementos de $ B - A $
Analogamente, $ B - A $ são os elementos que estão em $ B $ mas não em $ A $. Usamos a mesma ideia:
Passo 5
d) Número de elementos de $ \overline{A} $
$ \overline{A} $ é o complemento de $ A $ no universo $ U $, ou seja, todos os elementos que não estão em $ A $. A fórmula é:
Passo 6
e) Número de elementos de $ \overline{B} $
Similarmente, $ \overline{B} $ é o complemento de $ B $:
Passo 7
f) Número de elementos de $ \overline{A} \cap B $
Queremos os elementos que estão em $ B $ e também no complemento de $ A $. Isso é equivalente aos elementos que estão apenas em $ B - A $, que já calculamos:
Passo 8
g) Número de elementos de $ \overline{A} - B $
Isso representa os elementos que estão no complemento de $ A $ e não estão em $ B $. Podemos usar:
Passo 9
h) Número de elementos de $ \overline{A} \cap \overline{B} $
Este conjunto contém os elementos que não estão nem em $ A $ nem em $ B $. Podemos usar a fórmula da união de complementos:
Resposta
a) $ |B| = 14 $
b) $ |A - B| = 14 $
c) $ |B - A| = 8 $
d) $ |\overline{A}| = 15 $
e) $ |\overline{B}| = 21 $
f) $ |\overline{A} \cap B| = 8 $
g) $ |\overline{A} - B| = 7 $
h) $ |\overline{A} \cap \overline{B}| = 7 $
b) $ |A - B| = 14 $
c) $ |B - A| = 8 $
d) $ |\overline{A}| = 15 $
e) $ |\overline{B}| = 21 $
f) $ |\overline{A} \cap B| = 8 $
g) $ |\overline{A} - B| = 7 $
h) $ |\overline{A} \cap \overline{B}| = 7 $