Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Se U tem 35 elementos, A tem 20 elementos, A ∩ B tem 6 elementos e A ∪ B tem 28 elementos, determine o número de elementos dos conjuntos:
a) B
b) A - B
c) B - A
d) \bar A
e) \bar B
f) \bar A ∩ B
g) \bar A - B
h) \bar A ∩ \bar B

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto universo $ U $ com 35 elementos e dois subconjuntos $ A $ e $ B $. Sabemos que $ A $ tem 20 elementos, a interseção $ A \cap B $ tem 6 elementos e a união $ A \cup B $ tem 28 elementos. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para descobrir o número de elementos em várias partes envolvendo $ A $ e $ B $.

Passo 2

a) Número de elementos de $ B $
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da união de dois conjuntos:
B
Substituindo os valores que temos:
|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|
Resolvendo para $ |B| $:
28 = 20 + |B| - 6

Passo 3

b) Número de elementos de $ A - B $
$ A - B $ representa os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $. Para encontrar isso, subtraímos a interseção de $ A $ e $ B $ do total de $ A $:
A - B

Passo 4

c) Número de elementos de $ B - A $
Analogamente, $ B - A $ são os elementos que estão em $ B $ mas não em $ A $. Usamos a mesma ideia:
B - A

Passo 5

d) Número de elementos de $ \overline{A} $
$ \overline{A} $ é o complemento de $ A $ no universo $ U $, ou seja, todos os elementos que não estão em $ A $. A fórmula é:
A

Passo 6

e) Número de elementos de $ \overline{B} $
Similarmente, $ \overline{B} $ é o complemento de $ B $:
B

Passo 7

f) Número de elementos de $ \overline{A} \cap B $
Queremos os elementos que estão em $ B $ e também no complemento de $ A $. Isso é equivalente aos elementos que estão apenas em $ B - A $, que já calculamos:
A cap B

Passo 8

g) Número de elementos de $ \overline{A} - B $
Isso representa os elementos que estão no complemento de $ A $ e não estão em $ B $. Podemos usar:
A - B

Passo 9

h) Número de elementos de $ \overline{A} \cap \overline{B} $
Este conjunto contém os elementos que não estão nem em $ A $ nem em $ B $. Podemos usar a fórmula da união de complementos:
A cap B

Resposta

a) $ |B| = 14 $
b) $ |A - B| = 14 $
c) $ |B - A| = 8 $
d) $ |\overline{A}| = 15 $
e) $ |\overline{B}| = 21 $
f) $ |\overline{A} \cap B| = 8 $
g) $ |\overline{A} - B| = 7 $
h) $ |\overline{A} \cap \overline{B}| = 7 $

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