Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e desvio padrão de 10 cm3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 1002 cm3?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma enchedora automática de refrigerantes que enche as garrafas com um volume médio de 1000 cm³ e um desvio padrão de 10 cm³. O volume segue uma distribuição normal. Precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar 10 garrafas, no máximo 4 delas terem mais de 1002 cm³ de refrigerante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Como o volume segue uma distribuição normal com média (μ) de 1000 cm³ e desvio padrão (σ) de 10 cm³, podemos calcular a probabilidade de uma única garrafa ter mais de 1002 cm³.
Vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média:
z = X - musigma = 1002 - 100010 = 210 = 0,2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de uma garrafa ter mais de 1002 cm³, ou seja, $ P(X > 1002) $.
Usando a tabela da distribuição normal padrão (tabela z), encontramos a probabilidade de $ z \leq 0,2 $. Supondo que $ P(Z \leq 0,2) = 0,5793 $, então:
P(X > 1002)
Então, a probabilidade de uma única garrafa ter mais de 1002 cm³ é aproximadamente 42,07%.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de, em 10 garrafas, no máximo 4 terem mais de 1002 cm³. Isso é um problema de distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas (n): 10
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,4207
  • Número de sucessos (k): até 4
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n,k) times p^k times (1-p)^n-k
onde $ C(n,k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 5

Precisamos calcular a soma das probabilidades de 0, 1, 2, 3 e 4 garrafas terem mais de 1002 cm³:
P(X <= 4) = sumk=0^4 C(10,k) times (0,4207)^k times (0,5793)^10-k
Isso envolve calcular cada termo individualmente:
P(0) = C(10,0) times (0,4207)^0 times (0,5793)^10 = 1 times 1 times 0,5793^10
P(1) = C(10,1) times (0,4207)^1 times (0,5793)^9
vdots
P(4) = C(10,4) times (0,4207)^4 times (0,5793)^6

Passo 6

Calculando cada uma dessas probabilidades:
P(0) approx 0,5793^10 approx 0,006
P(1) approx 10 times 0,4207 times 0,5793^9 approx 0,042
P(2) approx 45 times 0,4207^2 times 0,5793^8 approx 0,146
P(3) approx 120 times 0,4207^3 times 0,5793^7 approx 0,267
P(4) approx 210 times 0,4207^4 times 0,5793^6 approx 0,311

Passo 7

Somando todas essas probabilidades:
P(X <= 4) approx 0,006 + 0,042 + 0,146 + 0,267 + 0,311 = 0,772

Resposta

A probabilidade de, no máximo, 4 das 10 garrafas selecionadas terem volume de líquido superior a 1002 cm³ é aproximadamente 77,2%.

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