Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e desvio padrão de 10 cm3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 1002 cm3?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma enchedora automática de refrigerantes que enche as garrafas com um volume médio de 1000 cm³ e um desvio padrão de 10 cm³. O volume segue uma distribuição normal. Precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar 10 garrafas, no máximo 4 delas terem mais de 1002 cm³ de refrigerante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Como o volume segue uma distribuição normal com média (μ) de 1000 cm³ e desvio padrão (σ) de 10 cm³, podemos calcular a probabilidade de uma única garrafa ter mais de 1002 cm³.
Vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de uma garrafa ter mais de 1002 cm³, ou seja, $ P(X > 1002) $.
Usando a tabela da distribuição normal padrão (tabela z), encontramos a probabilidade de $ z \leq 0,2 $. Supondo que $ P(Z \leq 0,2) = 0,5793 $, então:
Então, a probabilidade de uma única garrafa ter mais de 1002 cm³ é aproximadamente 42,07%.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de, em 10 garrafas, no máximo 4 terem mais de 1002 cm³. Isso é um problema de distribuição binomial, onde:
- Número de tentativas (n): 10
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,4207
- Número de sucessos (k): até 4
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde $ C(n,k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
Passo 5
Precisamos calcular a soma das probabilidades de 0, 1, 2, 3 e 4 garrafas terem mais de 1002 cm³:
Isso envolve calcular cada termo individualmente:
Passo 6
Calculando cada uma dessas probabilidades:
Passo 7
Somando todas essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de, no máximo, 4 das 10 garrafas selecionadas terem volume de líquido superior a 1002 cm³ é aproximadamente 77,2%.