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As pás de um ventilador estão rodando em sentido anti-horário com módulo da velocidade angular omegao. O aparelho é desligado, reduzindo sua velocidade angular uniformemente. Após um intervalo de tempo t, se observa que a velocidade angular diminuiu para omegao / 2. O número de voltas realizado durante esse intervalo de tempo está dado por:
a. 1 /(4 pi) omegao t
b. 3 /(4 pi) omegao t
c. 1 /(2 pi) omegao t
d. 3 /(8 pi) omegao t
e. 5 /(8 pi) omegao t
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Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. As pás de um ventilador estão girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular inicial de . Quando o ventilador é desligado, a velocidade angular diminui de forma uniforme, ou seja, há uma desaceleração constante. Após um tempo , a velocidade angular cai para metade, ou seja, . A pergunta é: quantas voltas as pás fizeram durante esse tempo ?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e o número de voltas (deslocamento angular).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( omega = omegao + alpha t ) está mudando de forma uniforme, o que significa que a aceleração angular ( ) é constante. Podemos usar as equações do movimento uniformemente variado para movimentos rotacionais, semelhantes às usadas para movimentos retilíneos.
A equação que relaciona a velocidade final ( ), a velocidade inicial ( ), a aceleração angular ( ) e o tempo ( ) é:

Passo 3

Sabemos que a velocidade final omegao2 = omegao + alpha t é omegao2 - omegao = alpha t . Vamos substituir na equação:
- omegao2 = alpha t
Agora, vamos resolver para alpha = - omegao2t :
A aceleração angular negativa indica que é uma desaceleração, o que faz sentido já que o ventilador está sendo desligado.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o deslocamento angular ( theta = omegao t + 12 alpha t^2 ) durante o tempo theta = omegao t + 12 (- omegao2t) t^2 . A equação que relaciona theta = omegao t - 14 omegao t , theta = 34 omegao t , e é:
Vamos substituir que encontramos:

Passo 5

O deslocamento angular N = theta2pi = 34 omegao t2pi = 38pi omegao t está em radianos, mas queremos saber o número de voltas. Sabemos que uma volta completa corresponde a radianos. Então, o número de voltas é:

Resposta

A resposta correta é a letra d.

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