O air hockey é praticado com disco com 30 g de massa e 100 mm de diâmetro. A camada de ar sob o disco tem 0,1 mm de espessura. Calcular o tempo necessário para o disco perder 10% de sua velocidade inicial adquirida pelo disparo. Considere o ar a 15^circ C.
Resposta: 2,3 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de air hockey com massa de 30 g e diâmetro de 100 mm. Ele está se movendo sobre uma camada de ar com espessura de 0,1 mm, e queremos descobrir quanto tempo leva para esse disco perder 10% da sua velocidade inicial. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre força de atrito do ar e como ela afeta a velocidade do disco ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Massa do disco:
  • Diâmetro do disco:
  • Raio do disco:
  • Espessura da camada de ar:
  • Temperatura do ar:

Passo 3

Vamos precisar calcular a viscosidade do ar a 15°C. A viscosidade dinâmica do ar ( ) a 15°C é aproximadamente .

Passo 4

A força de atrito ( F = mu cdot A cdot vh ) exercida pelo ar sobre o disco pode ser calculada usando a fórmula da viscosidade para um fluido entre duas superfícies:
onde:
  • é a viscosidade do ar,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do disco,
  • é a espessura da camada de ar.

Passo 5

A área de contato ( A = pi R^2 = pi (0,05)^2 approx 0,00785 , m^2 ) do disco com o ar é a área de um círculo:

Passo 6

A força de atrito também causa uma aceleração negativa (desaceleração) no disco. Usamos a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Então, a aceleração é:
a = Fm = mu cdot A cdot vm cdot h

Passo 7

Como a aceleração depende da velocidade, temos uma equação diferencial:
dvdt = -mu cdot Am cdot h cdot v
A solução dessa equação é uma função exponencial decrescente:
v(t) = v0 cdot e^-kt
onde .

Passo 8

Queremos encontrar o tempo v(t)v0 = e^-kt = 0,9 para que a velocidade -kt = ln(0,9) implies t = -ln(0,9)k seja 90% da velocidade inicial :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 9

Agora, calculamos k = mu cdot Am cdot h = 1,81 times 10^-5 , Pa cdot s cdot 0,00785 , m^20,03 , kg cdot 0,0001 , m approx 0,0474 , s^-1 :

Passo 10

Finalmente, substituímos t = -ln(0,9)0,0474 approx 0,1050,0474 approx 2,3 , segundos na equação do tempo:

Resposta

O tempo necessário para o disco perder 10% da sua velocidade inicial é de aproximadamente 2,3 segundos.

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