O air hockey é praticado com disco com 30 g de massa e 100 mm de diâmetro. A camada de ar sob o disco tem de espessura. Calcular o tempo necessário para o disco perder 10% de sua velocidade inicial adquirida pelo disparo. Considere o ar a .
Resposta: 2,3 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de air hockey com massa de 30 g e diâmetro de 100 mm. Ele está se movendo sobre uma camada de ar com espessura de 0,1 mm, e queremos descobrir quanto tempo leva para esse disco perder 10% da sua velocidade inicial. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre força de atrito do ar e como ela afeta a velocidade do disco ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Massa do disco:
  • Diâmetro do disco:
  • Raio do disco:
  • Espessura da camada de ar:
  • Temperatura do ar:

Passo 3

Vamos precisar calcular a viscosidade do ar a 15°C. A viscosidade dinâmica do ar ( ) a 15°C é aproximadamente .

Passo 4

A força de atrito ( ) exercida pelo ar sobre o disco pode ser calculada usando a fórmula da viscosidade para um fluido entre duas superfícies:
onde:
  • é a viscosidade do ar,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do disco,
  • é a espessura da camada de ar.

Passo 5

A área de contato ( ) do disco com o ar é a área de um círculo:

Passo 6

A força de atrito também causa uma aceleração negativa (desaceleração) no disco. Usamos a segunda lei de Newton:
Então, a aceleração é:

Passo 7

Como a aceleração depende da velocidade, temos uma equação diferencial:
A solução dessa equação é uma função exponencial decrescente:
onde .

Passo 8

Queremos encontrar o tempo para que a velocidade seja 90% da velocidade inicial :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 9

Agora, calculamos :

Passo 10

Finalmente, substituímos na equação do tempo:

Resposta

O tempo necessário para o disco perder 10% da sua velocidade inicial é de aproximadamente 2,3 segundos.

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Considere ó.
Resposta: .