Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas. A comunidade em que ele vive, interessadíssima nesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foi averiguado que ele acerta 80 % das vezes em que diz que os tomates não vão germinar e 90 % das vezes em que diz que os tomates vão germinar. Os tomates não germinam em 10 % das colheitas. Se Alberto anunciar a perda da colheita, qual é a probabilidade real de que eles não germinem?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado está nos dizendo e identificar o que precisamos para resolver o exercício.
Enunciado Resumido:
Alberto afirma que pode prever o futuro das colheitas. Especificamente:
  • Quando ele diz que os tomates não vão germinar, ele acerta 80% das vezes.
  • Quando ele diz que os tomates vão germinar, ele acerta 90% das vezes.
    Além disso, sabemos que, na realidade, os tomates não germinam em 10% das colheitas.
Objetivo:
Queremos descobrir qual é a probabilidade real de que os tomates não germinem quando Alberto anuncia a perda da colheita, ou seja, quando ele diz que os tomates não vão germinar.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com Probabilidade Condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Também vamos usar o Teorema de Bayes, que é uma ferramenta poderosa para atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar nossa análise:
  • $ A $: Alberto anuncia que os tomates não vão germinar.
  • $ G $: Os tomates germinam.
  • $ \neg G $: Os tomates não germinam.
Queremos encontrar $ P(\neg G | A) $, ou seja, a probabilidade de os tomates não germinarem dado que Alberto anunciou que não vão germinar.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Bayes, precisamos conhecer as seguintes probabilidades:
  1. Probabilidade de Alberto anunciar que os tomates não vão germinar ($ P(A) $):
    Isso pode acontecer de duas maneiras:
    • Alberto diz que não vão germinar e ele está correto.
    • Alberto diz que não vão germinar mas ele errou.
  2. Probabilidade de os tomates não germinarem ($ P(\neg G) $):
    Já foi dado como 10% ou $ 0.10 $.
  3. Probabilidade de Alberto anunciar que os tomates não vão germinar dado que eles realmente não germinam ($ P(A | \neg G) $):
    Isso é a probabilidade de Alberto estar correto quando ele diz que os tomates não vão germinar, que é 80% ou $ 0.80 $.
  4. Probabilidade de Alberto anunciar que os tomates não vão germinar dado que eles realmente germinam ($ P(A | G) $):
    Se os tomates germinam, mas ele diz que não vão germinar, ele está errando. A precisão dele quando diz que vão germinar é 90%, então a probabilidade dele errar ao dizer que não vão germinar é $ 1 - 0.90 = 0.10 $ ou $ 0.10 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(A) $, a probabilidade de Alberto anunciar que os tomates não vão germinar.
Usando a fórmula da probabilidade total:
P(A)
Sabemos que $ P(G) = 1 - P(\neg G) = 1 - 0.10 = 0.90 $.
Substituindo os valores:
P(A) = P(A | neg G) cdot P(neg G) + P(A | G) cdot P(G)

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar $ P(\neg G | A) $:
P(neg G | A)
Substituindo os valores que já calculamos:
P(neg G | A) = P(A | neg G) cdot P(neg G)P(A)

Resposta

A probabilidade real de que os tomates não germinem, dado que Alberto anunciou a perda da colheita, é aproximadamente 47,06%.

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