O alcance horizontal de um projétil é 3 vezes a altura máxima alcançada pela mesma. Determine o ângulo de disparo. Fornecer como resposta a tangente do ângulo. (2 pontos)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil cujo alcance horizontal (a distância que ele percorre no chão) é 3 vezes a altura máxima que ele alcança durante o voo. Nosso objetivo é descobrir o ângulo de disparo desse projétil e, por fim, fornecer a tangente desse ângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar das fórmulas que relacionam o alcance horizontal ( R = v0^2 cdot sin(2theta)g ) e a altura máxima ( H = v0^2 cdot sin^2(theta)2g ) de um projétil lançado com uma velocidade inicial ( ) e um ângulo de disparo ( ):
  • Alcance horizontal:
  • Altura máxima:
Aqui, é a aceleração da gravidade.

Passo 3

De acordo com o enunciado, o alcance horizontal é 3 vezes a altura máxima:
R = 3H
Substituindo as fórmulas de v0^2 cdot sin(2theta)g = 3 cdot v0^2 cdot sin^2(theta)2g e nessa equação:

Passo 4

Podemos simplificar a equação eliminando termos comuns. Observamos que sin(2theta) = 32 sin^2(theta) e aparecem em ambos os lados, então podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Lembrando que 2sin(theta)cos(theta) = 32 sin^2(theta) , substituímos na equação:
4sin(theta)cos(theta) = 3sin^2(theta)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar os termos:
4sin(theta)cos(theta) - 3sin^2(theta) = 0
Fatorando sin(theta)(4cos(theta) - 3sin(theta)) = 0 :

Passo 7

Isso nos dá duas possibilidades:
  1. → Isso resultaria em , mas isso significaria que o projétil não foi lançado.
  2. → Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 8

Resolvendo 4 = 3tan(theta) :
Dividindo ambos os lados por tan(theta) = 43 :
Isolando :

Resposta

A tangente do ângulo de disparo é .

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