Alexandre pegou dois empréstimos com seus familiares, totalizando R$ 20.000,00. Ele combinou pagar juros simples de 8% ao ano em um dos empréstimos e de 5% ao ano no outro. Após um ano nada foi pago, e por isso sua dívida aumentou de R$ 20.000,00 para R$ 21.405,00. Quanto foi tomado emprestado de cada familiar?
a) R$ 2.600,00 e R$ 17.400,00.
b) R$ 4.000,00 e R$ 16.000,00.
c) R$ 6.500,00 e R$ 13.500,00.
d) R$ 7.700,00 e R$ 12.300,00.
e) R$ 8.200,00 e R$ 11.800,00.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. O Alexandre pegou dois empréstimos dos familiares, somando R$ 20.000,00. Um empréstimo tem juros simples de 8% ao ano e o outro, 5% ao ano. Depois de um ano, como ele não pagou nada, a dívida total aumentou para R$ 21.405,00. A gente precisa descobrir quanto ele pegou de cada um.
Aqui, vamos usar o conceito de juros simples, que é calculado com a fórmula:
20.000,00 Um empréstimo tem juros simp<=s de 8% ao ano e o outro, 5% ao ano Depois de um ano, como e<= não pagou nada, a dívida total aumentou para R
Onde:
  • $ J $ é o juros
  • $ P $ é o principal (o valor emprestado)
  • $ i $ é a taxa de juros
  • $ t $ é o tempo

Passo 2

Vamos chamar o valor emprestado com juros de 8% de $ P_1 $ e o de 5% de $ P_2 $. Sabemos que:
P1
Além disso, os juros totais após um ano são R$ 1.405,00. Então, os juros de cada empréstimo são:
P2
P1 + P2 = 20.000
E a soma dos juros é:
1.405,00 Então, os juros de cada empréstimo são:

Passo 3

Vamos substituir $ J_1 $ e $ J_2 $ na equação dos juros totais:
J1
Agora, da primeira equação, sabemos que $ P_2 = 20.000 - P_1 $. Vamos substituir isso na equação dos juros:
J2
Vamos resolver essa equação:
0,08P1 + 0,05P2 = 1.405
P2 = 20.000 - P1
0,08P1 + 0,05(20.000 - P1) = 1.405
0,08P1 + 1.000 - 0,05P1 = 1.405
Agora, substituindo $ P_1 $ na equação $ P_2 = 20.000 - P_1 $:
0,03P1 + 1.000 = 1.405

Resposta

A resposta correta é a letra c) R$ 6.500,00 e R$ 13.500,00.

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