para algum valor real de
e
o sistema apresentará resposta ao degrau unitário não amortecida? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, para certos valores reais de
e
, o sistema vai ter uma resposta ao degrau unitário que não seja amortecida. Estamos lidando com sistemas de controle e funções de transferência. Para resolver, vamos analisar a função de transferência dada e determinar as condições para que a resposta ao degrau seja não amortecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma resposta ao degrau não amortecida. Isso ocorre quando o sistema responde ao degrau com oscilações contínuas, sem que elas diminuam com o tempo. Matematicamente, isso acontece quando os polos da função de transferência são puros imaginários, ou seja, têm parte real igual a zero.
Passo 3
Vamos então analisar a função de transferência fornecida:
Os polos do sistema são as raízes do denominador:
Passo 4
Para que os polos sejam puros imaginários, a equação quadrática
deve ter raízes da forma
, onde
é a frequência das oscilações. Isso acontece quando o discriminante da equa��ão quadrática é negativo.
O discriminante
é dado por:
Onde
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante:
Para que as raízes sejam imaginárias puras, precisamos que
:
Passo 6
Resolvendo a inequação:
Portanto, a condição para que o sistema tenha uma resposta ao degrau não amortecida é que o produto
seja maior que
.
Resposta
Para que o sistema apresente uma resposta ao degrau unitário não amortecida, os parâmetros
e
devem satisfazer a condição
.