Alice quer construir um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 60 cm x 24 cm x 18 cm, com a menor quantidade possível de cubos idênticos cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários para construir esse paralelepípedo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre construir um paralelepípedo com medidas de 60 cm, 24 cm e 18 cm usando o menor número possível de cubos iguais, cujas arestas tenham medidas naturais (números inteiros). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre divisores comuns e como usar o máximo divisor comum (MDC) para encontrar o tamanho ideal desses cubos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o máximo divisor comum (MDC) das três medidas: 60 cm, 24 cm e 18 cm. O MDC é o maior número que divide todos esses números sem deixar resto. Vamos calcular isso!
Passo 3
Vamos decompor cada número em fatores primos:
- 60: 2 × 2 × 3 × 5
- 24: 2 × 2 × 2 × 3
- 18: 2 × 3 × 3
Agora, identificamos os fatores comuns a todos:
- O fator 2 aparece pelo menos uma vez em todos.
- O fator 3 também aparece pelo menos uma vez em todos.
Então, o MDC é 2 × 3 = 6 cm.
Passo 4
Com o tamanho do cubo definido como 6 cm, agora vamos calcular quantos desses cubos cabem em cada dimensão do paralelepípedo:
- Comprimento: 60 cm ÷ 6 cm = 10 cubos
- Largura: 24 cm ÷ 6 cm = 4 cubos
- Altura: 18 cm ÷ 6 cm = 3 cubos
Passo 5
Para encontrar o total de cubos necessários, multiplicamos a quantidade em cada dimensão:
Total de cubos = 10 × 4 × 3 = 120 cubos
Resposta
Serão necessários 120 cubos de 6 cm de aresta para construir o paralelepípedo.