Alice quer construir um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 60 cm x 24 cm x 18 cm, com a menor quantidade possível de cubos idênticos cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários para construir esse paralelepípedo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre construir um paralelepípedo com medidas de 60 cm, 24 cm e 18 cm usando o menor número possível de cubos iguais, cujas arestas tenham medidas naturais (números inteiros). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre divisores comuns e como usar o máximo divisor comum (MDC) para encontrar o tamanho ideal desses cubos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o máximo divisor comum (MDC) das três medidas: 60 cm, 24 cm e 18 cm. O MDC é o maior número que divide todos esses números sem deixar resto. Vamos calcular isso!

Passo 3

Vamos decompor cada número em fatores primos:
  • 60: 2 × 2 × 3 × 5
  • 24: 2 × 2 × 2 × 3
  • 18: 2 × 3 × 3
Agora, identificamos os fatores comuns a todos:
  • O fator 2 aparece pelo menos uma vez em todos.
  • O fator 3 também aparece pelo menos uma vez em todos.
Então, o MDC é 2 × 3 = 6 cm.

Passo 4

Com o tamanho do cubo definido como 6 cm, agora vamos calcular quantos desses cubos cabem em cada dimensão do paralelepípedo:
  • Comprimento: 60 cm ÷ 6 cm = 10 cubos
  • Largura: 24 cm ÷ 6 cm = 4 cubos
  • Altura: 18 cm ÷ 6 cm = 3 cubos

Passo 5

Para encontrar o total de cubos necessários, multiplicamos a quantidade em cada dimensão:
Total de cubos = 10 × 4 × 3 = 120 cubos

Resposta

Serão necessários 120 cubos de 6 cm de aresta para construir o paralelepípedo.

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