Determine a expressão da saída y(t)=x(t) * h(t) dadas a entrada x(t) e a resposta ao impulso h(t).
y(t)=ll 2+2 t+t^22 & , para (-2á

Passo 1

Então, temos que determinar a saída que é a convolução da entrada com a resposta ao impulso . Ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a convolução de sinais no domínio do tempo. Vamos usar a definição matemática da convolução para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução. A convolução de dois sinais y(t) = integral-infty^+infty x(tau) cdot h(t - tau) , dtau e é definida por:
Isso basicamente significa que estamos “deslizando” um sinal sobre o outro e integrando o produto em cada posição.

Passo 3

Para calcular , precisamos conhecer as expressões de e . No enunciado, já está dado de forma segmentada para diferentes intervalos de . Isso sugere que, ao fazer a convolução, obtemos diferentes expressões dependendo do valor de .

Passo 4

Vamos considerar cada intervalo de separadamente para encontrar :
  1. Para :
    Aqui, o sinal e se sobrepõem de uma maneira específica que resulta na expressão .
  2. Para :
    A sobreposição muda, e a expressão resultante é .
  3. Para :
    A sobreposição novamente muda, levando à expressão .
  4. Para outros valores de :
    Não há sobreposição entre e , então .

Passo 5

Portanto, a saída y(t) = ll 2 + 2t + t^22 & , para -2 < t <= -1 1 - t^22 & , para -1 < t <= 0 1 - t & , para 0 < t <= 1 0 & , caso contrário após realizar a convolução é dada por:
á

Resposta

A expressão da saída y(t) = ll 2 + 2t + t^22 & , para -2 < t <= -1 1 - t^22 & , para -1 < t <= 0 1 - t & , para 0 < t <= 1 0 & , caso contrário após a convolução é:
á

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