Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto onde para a função vetorial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que nos dá a velocidade do ponto no tempo . Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá a aceleração do ponto:
Passo 4
A curvatura de uma curva parametrizada por vetor é dada pela fórmula:
Como estamos trabalhando em duas dimensões, podemos considerar o produto vetorial como se estivéssemos no espaço tridimensional com a componente igual a zero.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Então, o módulo do produto vetorial é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo de :
Elevando ao cubo:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
Passo 8
Vamos calcular a curvatura no ponto :
Passo 9
O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
Resposta
A curvatura no ponto dado é e o raio de curvatura é .