Do alto de uma encosta, situada a 220 m de altura, é lançado um projétil com uma velocidade de 200 m / s segundo uma direção que forma 30^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2, determine:
O alcance horizontal

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um projétil que é lançado do alto de uma encosta de 220 metros de altura com uma velocidade de 200 m/s formando um ângulo de com a horizontal. Nosso objetivo aqui é encontrar o alcance horizontal, ou seja, quão longe o projétil vai percorrer antes de tocar o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as fórmulas da cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal e vertical. Sabemos que:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0x = 200 cdot cos(30^circ) = 200 cdot raiz32 approx 173.21 , m/s é a componente horizontal da velocidade,
  • v0y = 200 cdot sin(30^circ) = 200 cdot 12 = 100 , m/s é a componente vertical da velocidade,
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento.
Vamos calcular essas componentes:

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o tempo total que o projétil estará no ar antes de atingir o solo. Para isso, vamos analisar o movimento vertical. A equação da posição vertical é:
y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • 0 = 220 + 100t - 5t^2 é a posição vertical no tempo ,
  • é a altura inicial,
  • é a aceleração da gravidade.
Queremos saber quando o projétil atinge o solo, ou seja, quando . Então, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
-5t^2 + 100t + 220 = 0
Dividindo todos os termos por -5 para simplificar:
t^2 - 20t - 44 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver:
t = 20 pm raiz(20)^2 - 4 cdot 1 cdot (-44)2 cdot 1 = 20 pm raiz400 + 1762 = 20 pm raiz5762 = 20 pm 242
Obtemos duas soluções:
t = 20 + 242 = 22 , s
t = 20 - 242 = -2 , s (descartamos, pois tempo não pode ser negativo) ã
Então, o tempo total no ar é de 22 segundos.

Passo 5

Com o tempo que o projétil fica no ar, podemos calcular o alcance horizontal. A fórmula para o alcance é:
R = v0x cdot t
Onde:
  • R = 173.21 cdot 22 approx 3,810.62 , metros é o alcance horizontal,
  • (calculado no Passo 2),
  • .
Vamos calcular:

Resposta

O alcance horizontal do projétil é aproximadamente 3.811 metros.

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