Do alto de uma encosta, situada a 220 m de altura, é lançado um projétil com uma velocidade de
segundo uma direção que forma
com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
O alcance horizontal
O alcance horizontal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um projétil que é lançado do alto de uma encosta de 220 metros de altura com uma velocidade de 200 m/s formando um ângulo de
com a horizontal. Nosso objetivo aqui é encontrar o alcance horizontal, ou seja, quão longe o projétil vai percorrer antes de tocar o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as fórmulas da cinemática.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal e vertical. Sabemos que:
Onde:
-
é a componente horizontal da velocidade, -
é a componente vertical da velocidade, -
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento.
Vamos calcular essas componentes:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir o tempo total que o projétil estará no ar antes de atingir o solo. Para isso, vamos analisar o movimento vertical. A equação da posição vertical é:
Onde:
-
é a posição vertical no tempo , -
é a altura inicial, -
é a aceleração da gravidade.
Queremos saber quando o projétil atinge o solo, ou seja, quando
. Então, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por -5 para simplificar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver:
Obtemos duas soluções:
Então, o tempo total no ar é de 22 segundos.
Passo 5
Com o tempo que o projétil fica no ar, podemos calcular o alcance horizontal. A fórmula para o alcance é:
Onde:
-
é o alcance horizontal, -
(calculado no Passo 2), -
.
Vamos calcular:
Resposta
O alcance horizontal do projétil é aproximadamente 3.811 metros.