Do alto de uma encosta, situada a 220 m de altura, é lançado um projétil com uma velocidade de 200 m / s segundo uma direção que forma 30^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2, determine:
O instante em que o projétil atinge o solo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um projétil lançado do alto de uma encosta de 220 metros com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. O que precisamos aqui é do básico de movimento de projéteis na cinemática. Vamos focar na parte vertical do movimento, já que queremos saber quando o projétil vai tocar o solo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Como o ângulo é v0y = v0 cdot sin(theta) = 200 cdot sin(30^circ) , a componente vertical da velocidade ( v0y = 200 cdot 0.5 = 100 , m/s ) é dada por:
Sabendo que , temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do movimento vertical para determinar o tempo que o projétil leva para atingir o solo. A posição vertical y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 em função do tempo é dada por:
0 = 220 + 100t - 5t^2
Onde:
  • (altura inicial)
  • (componente vertical da velocidade)
  • (aceleração da gravidade)
Como queremos saber quando o projétil atinge o solo, . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo -5t^2 + 100t + 220 = 0 . A equação é:
5t^2 - 100t - 220 = 0
Podemos simplificar multiplicando os dois lados por t = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
t = 100 pm raiz(-100)^2 - 4 cdot 5 cdot (-220)2 cdot 5
Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
raiz10000 + 4400 = raiz14400 = 120
Identificando t = 100 pm 12010 , e :
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 5

Agora, temos duas soluções possíveis:
t1 = 100 + 12010 = 22010 = 22 , segundos
t2 = 100 - 12010 = -2010 = -2 , segundos
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos . Assim, o tempo que o projétil leva para atingir o solo é de 22 segundos.

Resposta

O projétil atinge o solo após 22 segundos.

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