A altura de um projétil, depois de t segundos pode ser calculada pela expressão 128t - 16t². Depois de quantos segundos este projétil atinge uma altura de 256 metros?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a expressão que calcula a altura de um projétil em função do tempo: $ h(t) = 128t - 16t^2 $. A pergunta é: depois de quantos segundos o projétil atinge uma altura de 256 metros? Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de matemática, mais especificamente, equações do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. Queremos saber para que valor de $ t $ a altura $ h(t) $ será igual a 256 metros. Então, vamos igualar a expressão dada a 256 e resolver para $ t $:
t

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para o formato padrão de uma equação quadrática, que é $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para isso, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
ax^2 + bx + c = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -16 para facilitar a resolução:
-16t^2 + 128t - 256 = 0

Passo 4

Temos agora uma equação quadrática simples: $ t^2 - 8t + 16 = 0 $. Para resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira de encontrar as raízes de qualquer equação quadrática. A fórmula é:
t^2 - 8t + 16 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -8 $ e $ c = 16 $.

Passo 5

Vamos substituir esses valores na fórmula:
t = -(-8) pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 1 cdot 162 cdot 1
t = 8 pm raiz64 - 642
t = 8 pm raiz02
t = 8 pm 02
t = 82
t = 4

Resposta

O projétil atinge uma altura de 256 metros após 4 segundos.

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