Seja onde é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo . Qual é a função de distribuição acumulada de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória $ Z = e^X $, onde $ X $ é uniformemente distribuída no intervalo Z = e^X . Então, a gente vai precisar entender como transformar distribuições e trabalhar com funções acumuladas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada. A CDF, $ F_Z(z) $, nos dá a probabilidade de que a variável $ Z $ seja menor ou igual a um valor qualquer $ z $. Ou seja, $ F_Z(z) = P(Z \leq z) $.

Passo 3

Agora, como $ Z = e^X $, queremos expressar $ P(Z \leq z) $ em termos de $ X $. Vamos resolver a desigualdade $ e^X \leq z $.

Passo 4

Para resolver $ e^X \leq z $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da inequação, lembrando que o logaritmo é uma função crescente. Assim:
e^X <= z

Passo 5

Como $ X $ é uniformemente distribuído no intervalo X , a função de distribuição acumulada de $ X $, $ F_X(x) $, é dada por:
[0,1]

Passo 6

Agora, usando a relação que encontramos, $ F_Z(z) = P(X \leq \ln(z)) = F_X(\ln(z)) $. Vamos considerar os diferentes casos para $ z $:
  1. Quando $ z < 1 $:
    FZ(z) = P(X <= ln(z)) = FX(ln(z))
  2. Quando $ 1 \leq z \leq e $:
    z
  3. Quando $ z > e $:
    z < 1

Resposta

A função de distribuição acumulada de $ Z $ é:
Z

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