Seja
onde
é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo
. Qual é a função de distribuição acumulada de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória $ Z = e^X $, onde $ X $ é uniformemente distribuída no intervalo
. Então, a gente vai precisar entender como transformar distribuições e trabalhar com funções acumuladas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada. A CDF, $ F_Z(z) $, nos dá a probabilidade de que a variável $ Z $ seja menor ou igual a um valor qualquer $ z $. Ou seja, $ F_Z(z) = P(Z \leq z) $.
Passo 3
Agora, como $ Z = e^X $, queremos expressar $ P(Z \leq z) $ em termos de $ X $. Vamos resolver a desigualdade $ e^X \leq z $.
Passo 4
Para resolver $ e^X \leq z $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da inequação, lembrando que o logaritmo é uma função crescente. Assim:
Passo 5
Como $ X $ é uniformemente distribuído no intervalo
, a função de distribuição acumulada de $ X $, $ F_X(x) $, é dada por:
Passo 6
Agora, usando a relação que encontramos, $ F_Z(z) = P(X \leq \ln(z)) = F_X(\ln(z)) $. Vamos considerar os diferentes casos para $ z $:
-
Quando $ z < 1 $:
FZ(z) = P(X <= ln(z)) = FX(ln(z)) -
Quando $ 1 \leq z \leq e $:
z -
Quando $ z > e $:
z < 1
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ Z $ é: