Aluno:
3. (2.0) Numa lagoa de criação, suspeita-se que alguns peixes estão apresentando massa abaixo do esperado para a idade, ou seja, 2100 g . Caso isto esteja ocorrendo, será necessário utilizar uma ração com teor de gordura maior. Coletou-se uma amostra de cinco peixes e as massas apresentadas foram
e 2017 g . Supondo que a população tem distribuição normal, construa um teste de hipóteses
e, com base na sua amostra, determine se haverá necessidade de trocar o tipo de ração. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
(a) Escreva as hipóteses:
:
(b) Valor de
tabelado:
© Valor(es) crítico(s) ou de
calculado:
(d) Decisão:
i. estatística:
ii. em termos do problema estudado:
3. (2.0) Numa lagoa de criação, suspeita-se que alguns peixes estão apresentando massa abaixo do esperado para a idade, ou seja, 2100 g . Caso isto esteja ocorrendo, será necessário utilizar uma ração com teor de gordura maior. Coletou-se uma amostra de cinco peixes e as massas apresentadas foram
(a) Escreva as hipóteses:
(b) Valor de
© Valor(es) crítico(s) ou de
(d) Decisão:
i. estatística:
ii. em termos do problema estudado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma lagoa onde suspeitam que alguns peixes estão com massa menor do que o esperado para a idade, que é 2100 gramas. Foram pesados cinco peixes e as massas foram: 2105 g, 2010 g, 2087 g, 2004 g e 2017 g. A ideia aqui é fazer um teste de hipóteses para verificar se realmente a média da massa desses peixes está abaixo de 2100 g. Para isso, vamos usar um teste t de Student, já que a amostra é pequena (n=5) e a população é normalmente distribuída. Vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade. O nível de significância é α = 0.05.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar. As hipóteses são duas: a hipótese nula $ H_0 $ e a hipótese alternativa $ H_1 $.
Hipóteses:
- $ H_0 $: A média das massas dos peixes é igual a 2100 g.
- $ H_1 $: A média das massas dos peixes é menor que 2100 g.
Expressando isso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ t $ tabelado para o nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de $ \alpha = 0.05 $ e o teste é unilateral (estamos verificando se a média é menor), vamos procurar o valor de $ t $ que deixa 5% da distribuição à esquerda. Os graus de liberdade são $ df = n - 1 = 5 - 1 = 4 $.
Consultando uma tabela de distribuição t de Student para $ \alpha = 0.05 $ e $ df = 4 $, encontramos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor de $ t $ calculado usando nossa amostra. Primeiro, precisamos calcular a média ($ \bar{x}
s $) da amostra.
Cálculo da média:
Cálculo do desvio padrão:
Para calcular o desvio padrão, usamos a fórmula:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Então,
Cálculo do valor de $ t $:
Passo 5
Agora, vamos comparar o valor de $ t $ calculado com o valor de $ t $ tabelado.
- $ t_{calculado} = -8.23 $
- $ t_{tabelado} = -2.132 $
Como $ -8.23 < -2.132 $, estamos na região crítica. Isso significa que a estatística calculada está na área de rejeição da hipótese nula.
Passo 6
Decisão:
i. Estatística: Como $ t_{calculado} = -8.23 $ é menor que $ t_{tabelado} = -2.132 $, rejeitamos a hipótese nula $ H_0 $.
ii. Em termos do problema estudado: Há evidências suficientes para afirmar que a média das massas dos peixes está abaixo de 2100 g. Portanto, será necessário trocar o tipo de ração para uma com teor de gordura maior.
Resposta
Com base nos cálculos realizados, rejeitamos a hipótese nula $ H_0 $ e concluímos que a média das massas dos peixes está abaixo de 2100 g. Assim, será necessário trocar o tipo de ração utilizado na lagoa.