Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
e, com base na sua amostra, determine se a moeda é honesta. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
Escreva as hipóteses:
:
Escreva as hipóteses:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre lançar uma moeda 100 vezes e obter 40 caras. A gente precisa fazer um teste de hipótese para ver se essa moeda é justa, ou seja, se ela realmente tem a mesma chance de dar cara ou coroa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente teste de hipótese para proporções, e vamos precisar entender como comparar os resultados observados com o que esperaríamos se a moeda fosse realmente justa.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do nosso teste. Em testes de hipótese, temos duas hipóteses principais:
-
Hipótese Nula (
): É a hipótese que queremos testar, geralmente representando a situação de “nenhuma diferença” ou “status quo”. No nosso caso, é que a moeda é justa. -
Hipótese Alternativa (
): É a hipótese que queremos considerar se a hipótese nula for rejeitada. Aqui, é que a moeda não é justa.
Então, formulamos da seguinte maneira:
Onde
representa a probabilidade de dar cara ao lançar a moeda.
Passo 3
Agora, vamos definir o nível de significância do teste, que é o
dado no problema. O
significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer um erro tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções, podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da nossa estatística de teste, especialmente porque o número de lançamentos é grande (100 lançamentos).
A fórmula para a estatística de teste
é:
Onde:
-
é a proporção observada (número de caras dividido pelo total de lançamentos). -
é a proporção esperada sob a hipótese nula. -
é o número de lançamentos.
Vamos calcular:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como o teste é bicaudal (porque
é diferente de 0.5, podendo ser maior ou menor), vamos dividir o
em duas partes iguais para as duas caudas da distribuição normal.
Então, buscamos os valores críticos para
que correspondem a
em cada extremidade.
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para
correspondente a 0.025 em cada cauda é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de
com os valores críticos:
Como
é menor que
, ele cai na região de rejeição da hipótese nula.
Passo 7
Finalmente, decidimos se rejeitamos ou não a hipótese nula com base nisso. Como nosso
calculado está além do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula
.
Resposta
Com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa. Portanto, com base na amostra de 100 lançamentos e 40 caras, concluímos que a moeda provavelmente não é honesta.