Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando alpha=0.05 e, com base na sua amostra, determine se a moeda é honesta. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
Escreva as hipóteses:
H1:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre lançar uma moeda 100 vezes e obter 40 caras. A gente precisa fazer um teste de hipótese para ver se essa moeda é justa, ou seja, se ela realmente tem a mesma chance de dar cara ou coroa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente teste de hipótese para proporções, e vamos precisar entender como comparar os resultados observados com o que esperaríamos se a moeda fosse realmente justa.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do nosso teste. Em testes de hipótese, temos duas hipóteses principais:
  • Hipótese Nula ( H0): É a hipótese que queremos testar, geralmente representando a situação de “nenhuma diferença” ou “status quo”. No nosso caso, é que a moeda é justa.
  • Hipótese Alternativa ( H1): É a hipótese que queremos considerar se a hipótese nula for rejeitada. Aqui, é que a moeda não é justa.
Então, formulamos da seguinte maneira:
H0: p = 0.5 H1: p neq 0.5
Onde p representa a probabilidade de dar cara ao lançar a moeda.

Passo 3

Agora, vamos definir o nível de significância do teste, que é o alpha dado no problema. O alpha = 0.05 significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer um erro tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções, podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da nossa estatística de teste, especialmente porque o número de lançamentos é grande (100 lançamentos).
A fórmula para a estatística de teste Z é:
Z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada (número de caras dividido pelo total de lançamentos).
  • p0 é a proporção esperada sob a hipótese nula.
  • n é o número de lançamentos.
Vamos calcular:
p = 40100 = 0.4 p0 = 0.5 n = 100
Substituindo na fórmula:
Z = 0.4 - 0.5raiz0.5 times 0.5100 = -0.1raiz0.0025 = -0.10.05 = -2

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como o teste é bicaudal (porque H1 é diferente de 0.5, podendo ser maior ou menor), vamos dividir o alpha em duas partes iguais para as duas caudas da distribuição normal.
Então, buscamos os valores críticos para Z que correspondem a alpha/2 = 0.025 em cada extremidade.
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para Z correspondente a 0.025 em cada cauda é aproximadamente pm1.96.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
Z = -2 Zcrítico = pm1.96 í
Como -2 é menor que -1.96, ele cai na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 7

Finalmente, decidimos se rejeitamos ou não a hipótese nula com base nisso. Como nosso Z calculado está além do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula H0.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa. Portanto, com base na amostra de 100 lançamentos e 40 caras, concluímos que a moeda provavelmente não é honesta.

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