Para estimar a média da altura dos universitários do sexo masculino de um certo curso da universidade em que estuda, voce coletou uma amostra de seis indivíduos e obteve os valores 179 , 172, 166, 169, 162 e 175 cm . Considerando que a população tem distribuição normal, construa um intervalo de confiança para a média com nível de confiança igual a 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a média da altura dos universitários do sexo masculino de um certo curso da universidade. Para isso, coletamos uma amostra de seis indivíduos com as alturas: 179, 172, 166, 169, 162 e 175 cm. Como a população tem distribuição normal e queremos um intervalo de confiança de 95%, vamos usar a t de Student para construir esse intervalo. Vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e usar a tabela t para encontrar o valor crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todas as alturas dividida pelo número de indivíduos.
barx = 179 + 172 + 166 + 169 + 162 + 1756 = 10236 = 170,5 cm

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto as alturas variam em relação à média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Primeiro, calculamos cada diferença ao quadrado:
(179 - 170,5)^2 &= 72,25 (172 - 170,5)^2 &= 2,25 (166 - 170,5)^2 &= 20,25 (169 - 170,5)^2 &= 2,25 (162 - 170,5)^2 &= 72,25 (175 - 170,5)^2 &= 20,25
Somando essas diferenças:
72,25 + 2,25 + 20,25 + 2,25 + 72,25 + 20,25 = 189,5
Agora, dividimos pela quantidade de dados menos um (6 - 1 = 5):
s = raiz189,55 = raiz37,9 approx 6,16 cm

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 95% com 5 graus de liberdade (n - 1 = 6 - 1 = 5). Consultando a tabela t de Student, encontramos que:
t0,025 approx 2,571
(O 0,025 vem do fato de que 95% de confiança deixa 2,5% em cada extremidade da distribuição.)

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média (EP), que é o desvio padrão dividido pela raiz do tamanho da amostra:
EP = sraizn = 6,16raiz6 approx 6,162,45 approx 2,51 cm

Passo 6

Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro (ME):
ME = t times EP = 2,571 times 2,51 approx 6,46 cm

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
barx pm ME = 170,5 pm 6,46
Isso nos dá:
170,5 - 6,46 = 164,04 cm
170,5 + 6,46 = 176,96 cm

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média das alturas dos universitários do sexo masculino é de aproximadamente 164,04 cm a 176,96 cm.

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