Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
e, com base na sua amostra, determine se a moeda é honesta. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
Escreva as hipóteses:
:
Escreva as hipóteses:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente lançou uma moeda 100 vezes e deu 40 caras. A pergunta é: será que essa moeda é justa? Para descobrir isso, vamos fazer um teste de hipótese com um nível de significância de
. Nesse teste, vamos comparar o que observamos com o que seria esperado se a moeda fosse realmente justa.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar. As hipóteses são declarações que representam nossas suposições antes de olhar para os dados.
-
Hipótese Nula (
): A moeda é justa. Matemáticamente, isso significa que a probabilidade de dar cara é 0.5. -
Hipótese Alternativa (
): A moeda não é justa. Ou seja, a probabilidade de dar cara é diferente de 0.5.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual teste estatístico é apropriado para essa situação. Como estamos lidando com proporções (número de caras em um total de lançamentos), vamos usar o teste z para proporções. Esse teste é adequado quando temos um grande número de tentativas, o que é o nosso caso (100 lançamentos).
Passo 4
Vamos calcular a proporção observada de caras na nossa amostra. A fórmula para a proporção observada (
) é:
Passo 5
Em seguida, calculamos o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. O erro padrão (
) é dado por:
Onde:
-
é a proporção sob (0.5) -
é o número total de lançamentos (100)
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, calculamos o estatístico de teste z, que nos diz quantos desvios padrão a nossa proporção observada está longe da proporção esperada sob
.
Passo 7
Determinar o p-valor correspondente ao nosso estatístico z. Como o teste é bicaudal (queremos saber se é diferente, para mais ou para menos), calculamos a probabilidade de z ser menor que -2 ou maior que 2.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, sabemos que:
Como é bicaudal, multiplicamos por 2:
Passo 8
Comparar o p-valor com o nível de significância
:
Como o p-valor é menor que
, rejeitamos a hipótese nula
.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a moeda não é honesta.