Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando alpha=0.05 e, com base na sua amostra, determine se a moeda é honesta. Faça o teste conforme etapas abaixo observando que, para pontuar num item, é necessário ter pontuado nos itens anteriores:
Escreva as hipóteses:
H0:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente lançou uma moeda 100 vezes e deu 40 caras. A pergunta é: será que essa moeda é justa? Para descobrir isso, vamos fazer um teste de hipótese com um nível de significância de alpha = 0.05. Nesse teste, vamos comparar o que observamos com o que seria esperado se a moeda fosse realmente justa.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar. As hipóteses são declarações que representam nossas suposições antes de olhar para os dados.
  • Hipótese Nula ( H0): A moeda é justa. Matemáticamente, isso significa que a probabilidade de dar cara é 0.5.
    H0: p = 0.5
  • Hipótese Alternativa ( H1): A moeda não é justa. Ou seja, a probabilidade de dar cara é diferente de 0.5.
    H1: p neq 0.5

Passo 3

Agora, vamos identificar qual teste estatístico é apropriado para essa situação. Como estamos lidando com proporções (número de caras em um total de lançamentos), vamos usar o teste z para proporções. Esse teste é adequado quando temos um grande número de tentativas, o que é o nosso caso (100 lançamentos).

Passo 4

Vamos calcular a proporção observada de caras na nossa amostra. A fórmula para a proporção observada ( p) é:
p = número de carasnúmero total de lançamentos = 40100 = 0.4 úúç

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. O erro padrão ( SE) é dado por:
SE = raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p0 é a proporção sob H0 (0.5)
  • n é o número total de lançamentos (100)
Substituindo os valores:
SE = raiz0.5 times 0.5100 = raiz0.25100 = raiz0.0025 = 0.05

Passo 6

Agora, calculamos o estatístico de teste z, que nos diz quantos desvios padrão a nossa proporção observada está longe da proporção esperada sob H0.
z = p - p0SE = 0.4 - 0.50.05 = -0.10.05 = -2

Passo 7

Determinar o p-valor correspondente ao nosso estatístico z. Como o teste é bicaudal (queremos saber se é diferente, para mais ou para menos), calculamos a probabilidade de z ser menor que -2 ou maior que 2.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, sabemos que:
P(Z < -2) approx 0.0228
Como é bicaudal, multiplicamos por 2:
p-valor = 2 times 0.0228 = 0.0456

Passo 8

Comparar o p-valor com o nível de significância alpha = 0.05:
0.0456 < 0.05
Como o p-valor é menor que alpha, rejeitamos a hipótese nula H0.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a moeda não é honesta.

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