Aluno(a): Nicole C. de Poula
OBS. Todos os cálculos devem estar detalhados na resolução da prova. Questōes que constem apenas os resultados finais serão consideradas erradas. Utilize as distribuiçōes de probabilỉđades adequadas nas questőes.
A distribuçãa de probabilidade de uma variável aleatória X é P(X=x)=0,2 para X=1,2,3,4,5.
Calcular:
V(3 X-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a variância de 3X - 2, onde X é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade igual para os valores 1, 2, 3, 4, 5. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente sobre variância de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é variância. A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se espalham em relação à média. Para uma variável Y = aX + b, a variância V(Y) é dada por:
V(Y) = a^2 cdot V(X)
Isso significa que a variância de Y depende da variância de X e do coeficiente a.

Passo 3

Então, nosso objetivo agora é encontrar a variância de X, ou seja, V(X). Para isso, precisamos calcular a esperança matemática de X ( E(X)) e a esperança de X^2 ( E(X^2)). A variância é dada por:
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Passo 4

Vamos calcular E(X). A esperança matemática de X é a soma dos valores de X multiplicados pelas suas probabilidades:
E(X) = sumx=1^5 x cdot P(X = x)
Sabemos que P(X = x) = 0,2 para x = 1, 2, 3, 4, 5. Então:
E(X) = 1 cdot 0,2 + 2 cdot 0,2 + 3 cdot 0,2 + 4 cdot 0,2 + 5 cdot 0,2 = 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 1,0 = 3,0

Passo 5

Agora, vamos calcular E(X^2). Da mesma forma:
E(X^2) = sumx=1^5 x^2 cdot P(X = x)
Calculando:
E(X^2) = 1^2 cdot 0,2 + 2^2 cdot 0,2 + 3^2 cdot 0,2 + 4^2 cdot 0,2 + 5^2 cdot 0,2 = 0,2 + 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5,0 = 10,0

Passo 6

Agora que temos E(X) e E(X^2), podemos encontrar a variância de X:
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10,0 - (3,0)^2 = 10,0 - 9,0 = 1,0

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a variância de 3X - 2 usando a relação que mencionamos no Passo 2:
V(3X - 2) = 3^2 cdot V(X) = 9 cdot 1,0 = 9,0

Resposta

A variância de 3X - 2 é igual a 9,0.

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