Aluno(a): Nicole C. de Poula
OBS. Todos os cálculos devem estar detalhados na resolução da prova. Questōes que constem apenas os resultados finais serão consideradas erradas. Utilize as distribuiçōes de probabilỉđades adequadas nas questőes.
Uma ferramenta produzida por uma indústria apresenta uma vida média de 80 h . Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, qual será a probabilidade dessa ferramenta durar mais que 100 horas?
OBS. Todos os cálculos devem estar detalhados na resolução da prova. Questōes que constem apenas os resultados finais serão consideradas erradas. Utilize as distribuiçōes de probabilỉđades adequadas nas questőes.
Uma ferramenta produzida por uma indústria apresenta uma vida média de 80 h . Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, qual será a probabilidade dessa ferramenta durar mais que 100 horas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma ferramenta que, em média, dura 80 horas. Queremos descobrir qual a chance dessa ferramenta funcionar por mais de 100 horas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição exponencial, que é uma forma de calcular probabilidades relacionadas ao tempo até que um evento aconteça, como no caso, o tempo até a ferramenta parar de funcionar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente. Uma das características dessa distribuição é que ela depende de um parâmetro chamado λ (lambda), que é o inverso da média. No nosso caso, a média é 80 horas, então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a ferramenta durar mais que 100 horas. Na distribuição exponencial, a probabilidade de um evento durar mais que um certo tempo $ x $ é dada pela função de sobrevivência:
Aqui, $ X $ é o tempo que a ferramenta durará, e $ x $ é o tempo específico que estamos analisando, que neste caso é 100 horas.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, calculamos $ \lambda x $:
Agora, aplicamos na fórmula da probabilidade:
Passo 5
Para calcular $ e^{-1,25} $, usamos uma calculadora científica ou uma ferramenta que calcule exponenciais. Fazendo isso, obtemos aproximadamente:
Resposta
A probabilidade de a ferramenta durar mais que 100 horas é de aproximadamente 28,65%.