Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 141 152 159 158 167 157 143 158 150 144 166
|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline 148 & 141 & 152 & 159 & 158 & 167 & 157 & 143 & 158 & 150 & 144 & 166 hline
Construa um intervalo de |l|l| hline barX=153,58 & S=8,65 hline de confiança para os seguintes parâmetros:
95 % Média populacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional das resistências dos cabos de aço. Isso faz parte da estatística, mais especificamente da área de inferência estatística. Para resolver, vamos precisar entender o que é um intervalo de confiança, usar a média amostral, o desvio padrão da amostra e a distribuição t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena (n = 12).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a média verdadeira da população esteja, com uma certa confiança (neste caso, 95%).

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (menos de 30 elementos), usamos a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barX pm talpha/2, n-1 times Sraizn
Onde:
  • barX é a média amostral,
  • talpha/2, n-1 é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e n-1 graus de liberdade,
  • S é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral ( barX) = 153,58 kg
  • Desvio padrão da amostra ( S) = 8,65 kg
  • Tamanho da amostra ( n) = 12
  • Graus de liberdade = n - 1 = 11

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2, 11 para um intervalo de confiança de 95%. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que t0,025, 11 approx 2,201.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média, que é Sraizn:
8,65raiz12 approx 8,653,464 approx 2,5

Passo 7

Agora, multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
2,201 times 2,5 approx 5,502

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média amostral:
153,58 - 5,502 approx 148,08
153,58 + 5,502 approx 159,08

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média populacional das resistências dos cabos de aço é entre 148,08 kg e 159,08 kg.

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