Suponha duas amostras independentes, de oito elementos cada uma, provenientes de duas populações distintas. Vamos admitir que a variável em análise tem distribuição normal e que
. Se a primeira amostra forneceu os valores
e 9, e a segunda amostra forneceu os valores
e 9, teste, ao nível de significância de
, a hipótese
contra a hipótese alternativa
.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas amostras independentes, cada uma com oito elementos, vindas de populações diferentes. A gente sabe que a variável que estamos analisando segue uma distribuição normal e que as variâncias das duas populações são iguais, ou seja,
. O que a gente quer é testar, com um nível de significância de 5%, se a média da primeira população (
) é igual à média da segunda população (
) versus a hipótese de que a média da primeira é maior que a da segunda. Além disso, vamos ver como fazer isso usando o Gretl, que é um programa de análise estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa testar as médias de duas populações. A gente tem duas amostras independentes, e queremos ver se a diferença entre as médias delas é significativa ou se pode ser explicada pelo acaso. Como as variâncias são iguais e as amostras são pequenas (menos de 30 elementos), vamos usar o teste t de Student para amostras independentes.
Passo 3
Para realizar o teste t, a gente precisa calcular algumas coisas:
- Médias das amostras (
e ): A média é a soma dos valores dividida pelo número de valores. - Variâncias das amostras (
e ): A variância mede a dispersão dos dados em relação à média. - Erro padrão da diferença entre as médias: Considera a variância combinada das duas amostras.
- Estatística t: É a diferença entre as médias dividida pelo erro padrão.
Vamos calcular esses passos com os dados fornecidos.
Passo 4
Calcular as médias das amostras:
Para a primeira amostra: 8, 7, 3, 9, 6, 6, 8, 9
Para a segunda amostra: 5, 8, 11, 10, 8, 11, 10, 9
Passo 5
Calcular as variâncias das amostras:
Primeiro, vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média para cada amostra.
Para a primeira amostra:
Para a segunda amostra:
Passo 6
Calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
Como
, podemos usar a variância combinada:
O erro padrão (SE) é:
Passo 7
Calcular a estatística t:
Passo 8
Determinar o valor crítico e a região de rejeição:
Como estamos testando
, é um teste unilateral à direita. Mas na nossa estatística t deu negativo, o que indica que
é menor que
.
Para um nível de significância de 5% e graus de liberdade
, o valor crítico t é aproximadamente 1.761 (pode variar levemente dependendo da tabela).
Passo 9
Comparar o valor calculado com o valor crítico:
Nosso t calculado é -2, que está muito abaixo do valor crítico de 1.761. Isso significa que não está na região de rejeição.
Passo 10
Conclusão do teste:
Como o valor calculado de t (-2) não é maior que o valor crítico (1.761), a gente não rejeita a hipótese nula
ao nível de significância de 5%.
Resposta
Não há evidências suficientes para afirmar que a média da primeira população é maior que a da segunda ao nível de 5% de significância.