Suponha duas amostras independentes, de oito elementos cada uma, provenientes de duas populações distintas. Vamos admitir que a variável em análise tem distribuição normal e que sigma1^2= sigma2^2. Se a primeira amostra forneceu os valores 8,7,3,9,6,6,8 e 9, e a segunda amostra forneceu os valores 5,8,11,10,8,11,10 e 9, teste, ao nível de significância de 5 %, a hipótese H0: mu1=mu2 contra a hipótese alternativa H1: mu1>mu2.
Replique a questão utilizando o Gretl.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas amostras independentes, cada uma com oito elementos, vindas de populações diferentes. A gente sabe que a variável que estamos analisando segue uma distribuição normal e que as variâncias das duas populações são iguais, ou seja, sigma1^2 = sigma2^2. O que a gente quer é testar, com um nível de significância de 5%, se a média da primeira população ( mu1) é igual à média da segunda população ( mu2) versus a hipótese de que a média da primeira é maior que a da segunda. Além disso, vamos ver como fazer isso usando o Gretl, que é um programa de análise estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa testar as médias de duas populações. A gente tem duas amostras independentes, e queremos ver se a diferença entre as médias delas é significativa ou se pode ser explicada pelo acaso. Como as variâncias são iguais e as amostras são pequenas (menos de 30 elementos), vamos usar o teste t de Student para amostras independentes.

Passo 3

Para realizar o teste t, a gente precisa calcular algumas coisas:
  1. Médias das amostras ( barX1 e barX2): A média é a soma dos valores dividida pelo número de valores.
  2. Variâncias das amostras ( s1^2 e s2^2): A variância mede a dispersão dos dados em relação à média.
  3. Erro padrão da diferença entre as médias: Considera a variância combinada das duas amostras.
  4. Estatística t: É a diferença entre as médias dividida pelo erro padrão.
Vamos calcular esses passos com os dados fornecidos.

Passo 4

Calcular as médias das amostras:
Para a primeira amostra: 8, 7, 3, 9, 6, 6, 8, 9
barX1 = 8 + 7 + 3 + 9 + 6 + 6 + 8 + 98 = 568 = 7
Para a segunda amostra: 5, 8, 11, 10, 8, 11, 10, 9
barX2 = 5 + 8 + 11 + 10 + 8 + 11 + 10 + 98 = 728 = 9

Passo 5

Calcular as variâncias das amostras:
Primeiro, vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média para cada amostra.
Para a primeira amostra:
sum (Xi - barX1)^2 = (8-7)^2 + (7-7)^2 + (3-7)^2 + (9-7)^2 + (6-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (9-7)^2
= 1 + 0 + 16 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 = 28
s1^2 = 288 - 1 = 287 = 4
Para a segunda amostra:
sum (Xi - barX2)^2 = (5-9)^2 + (8-9)^2 + (11-9)^2 + (10-9)^2 + (8-9)^2 + (11-9)^2 + (10-9)^2 + (9-9)^2
= 16 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 + 0 = 28
s2^2 = 288 - 1 = 287 = 4

Passo 6

Calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
Como sigma1^2 = sigma2^2, podemos usar a variância combinada:
sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2 = (8-1)(4) + (8-1)(4)8+8-2 = 28 + 2814 = 5614 = 4
O erro padrão (SE) é:
SE = raizsp^2 ( 1n1 + 1n2 ) = raiz4 ( 18 + 18 ) = raiz4 times 28 = raiz4 times 0.25 = raiz1 = 1

Passo 7

Calcular a estatística t:
t = barX1 - barX2SE = 7 - 91 = -21 = -2

Passo 8

Determinar o valor crítico e a região de rejeição:
Como estamos testando H1: mu1 > mu2, é um teste unilateral à direita. Mas na nossa estatística t deu negativo, o que indica que mu1 é menor que mu2.
Para um nível de significância de 5% e graus de liberdade df = n1 + n2 - 2 = 14, o valor crítico t é aproximadamente 1.761 (pode variar levemente dependendo da tabela).

Passo 9

Comparar o valor calculado com o valor crítico:
Nosso t calculado é -2, que está muito abaixo do valor crítico de 1.761. Isso significa que não está na região de rejeição.

Passo 10

Conclusão do teste:
Como o valor calculado de t (-2) não é maior que o valor crítico (1.761), a gente não rejeita a hipótese nula H0: mu1 = mu2 ao nível de significância de 5%.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que a média da primeira população é maior que a da segunda ao nível de 5% de significância.

Exercícios relacionados