Numa amostra aleatória de 300 universitários, 180 tinham algum tipo de preconceito. Obter o intervalo de 95 % de confiança para a proporção verdadeira, p , de universitários que tem algum tipo de preconceito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma amostra aleatória de 300 universitários, dos quais 180 apresentaram algum tipo de preconceito. O que precisamos encontrar é o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de universitários que têm algum tipo de preconceito. Isso envolve estatística inferencial, especificamente a criação de um intervalo de confiança para uma proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a estimativa da proporção verdadeira p = Número de sucessosTamanho da amostra = 180300 = 0,6 . A proporção amostral é dada por:
ú
Então, nossa proporção amostral é 0,6 ou 60%.

Passo 3

Agora, para construir o intervalo de confiança, vamos usar a fórmula do intervalo para uma proporção:
p pm z times raizp(1 - p)n
Aqui:
  • é a proporção amostral (0,6).
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (95%).
  • é o tamanho da amostra (300).

Passo 4

Encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão a margem de erro deve cobrir para capturar 95% da distribuição. Para 95%, o valor de é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão EP = raizp(1 - p)n = raiz0,6 times 0,4300 = raiz0,24300 = raiz0,0008 approx 0,02828 :

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos determinar a margem de erro ( ME = z times EP = 1,96 times 0,02828 approx 0,0555 ):

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Intervalo de Confiança = p pm ME = 0,6 pm 0,0555 ç
Isso nos dá:
0,6 - 0,0555 = 0,5445
0,6 + 0,0555 = 0,6555

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de universitários que têm algum tipo de preconceito é de aproximadamente 54,45% a 65,55%.

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