Uma amostra aleatória de 49 doentes revelou uma taxa média de
de uma substância tóxica na urina. Se a população é suposta normal, com desvio padrão de
, verifique se podemos aceitar que a taxa média da substância tóxica na urina é de
, aos níveis de significância de:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística inferencial, mais especificamente um teste de hipóteses. O problema nos dá uma média amostral de 47 mg/L de uma substância tóxica na urina, com um desvio padrão conhecido de 16 mg/L e uma amostra de 49 pessoas. A gente precisa verificar se dá para aceitar que a média real dessa substância na população é de 43 mg/L, considerando dois níveis de significância: 5% e 10%. Para resolver isso, vamos usar o teste z para média, já que conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
- Hipótese Nula (H₀): A média da população é igual a 43 mg/L, ou seja, μ = 43.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média da população é diferente de 43 mg/L, ou seja, μ ≠ 43.
Esse é um teste bicaudal porque estamos verificando se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.
Passo 3
Agora, vamos calcular o estatístico de teste z usando a fórmula:
Onde:
-
mg/L (média amostral) -
mg/L (média hipotética) -
mg/L (desvio padrão da população) -
(tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Então, o valor de z é 1,75.
Passo 4
Agora, precisamos determinar o valor crítico z para os níveis de significância de 5% e 10%.
- Para
em um teste bicaudal, dividimos o alfa por 2 para cada cauda: 2,5% de cada lado. - Para
, é 5% de cada lado.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, temos:
-
: z crítico ≈ ±1,96 -
: z crítico ≈ ±1,645
Passo 5
Vamos comparar o nosso valor de z calculado (1,75) com os valores críticos para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula.
a) Para
:
- z calculado = 1,75
- z crítico = ±1,96
Como 1,75 está entre -1,96 e 1,96, não rejeitamos H₀. Não há evidências suficientes para afirmar que a média é diferente de 43 mg/L ao nível de 5%.
b) Para
:
- z calculado = 1,75
- z crítico = ±1,645
Agora, 1,75 é maior que 1,645, então rejeitamos H₀. H�� evidências suficientes para afirmar que a média é diferente de 43 mg/L ao nível de 10%.
Resposta
a) Com
, não rejeitamos a hipótese de que a média é 43 mg/L.
b) Com
, rejeitamos a hipótese de que a média é 43 mg/L.