Uma amostra aleatória de 49 doentes revelou uma taxa média de 47 mg / 1 de uma substância tóxica na urina. Se a população é suposta normal, com desvio padrão de 16 mg / 1, verifique se podemos aceitar que a taxa média da substância tóxica na urina é de 43 mg / 1, aos níveis de significância de:
a) alpha=5 %
b) alpha=10 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística inferencial, mais especificamente um teste de hipóteses. O problema nos dá uma média amostral de 47 mg/L de uma substância tóxica na urina, com um desvio padrão conhecido de 16 mg/L e uma amostra de 49 pessoas. A gente precisa verificar se dá para aceitar que a média real dessa substância na população é de 43 mg/L, considerando dois níveis de significância: 5% e 10%. Para resolver isso, vamos usar o teste z para média, já que conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da população é igual a 43 mg/L, ou seja, μ = 43.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da população é diferente de 43 mg/L, ou seja, μ ≠ 43.
Esse é um teste bicaudal porque estamos verificando se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico de teste z usando a fórmula:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • z = 47 - 4316raiz49 = 4167 = 4 times 716 = 2816 = 1,75 mg/L (média amostral)
  • mg/L (média hipotética)
  • mg/L (desvio padrão da população)
  • (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Então, o valor de z é 1,75.

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor crítico z para os níveis de significância de 5% e 10%.
  • Para em um teste bicaudal, dividimos o alfa por 2 para cada cauda: 2,5% de cada lado.
  • Para , é 5% de cada lado.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, temos:
  • : z crítico ≈ ±1,96
  • : z crítico ≈ ±1,645

Passo 5

Vamos comparar o nosso valor de z calculado (1,75) com os valores críticos para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula.
a) Para :
  • z calculado = 1,75
  • z crítico = ±1,96
Como 1,75 está entre -1,96 e 1,96, não rejeitamos H₀. Não há evidências suficientes para afirmar que a média é diferente de 43 mg/L ao nível de 5%.
b) Para :
  • z calculado = 1,75
  • z crítico = ±1,645
Agora, 1,75 é maior que 1,645, então rejeitamos H₀. H�� evidências suficientes para afirmar que a média é diferente de 43 mg/L ao nível de 10%.

Resposta

a) Com , não rejeitamos a hipótese de que a média é 43 mg/L.
b) Com , rejeitamos a hipótese de que a média é 43 mg/L.

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