Foi admitido que o preço médio de livros em Ciências Sociais é de U$ 18,00. Mas descobriu-se que o preço médio de uma amostra aleatória de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro (no campo das Ciências Sociais) é de U$ 21,60, com um desvio padrão
. Baseado nos dados amostrais e, admitindo distribuição normal para a população, podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros em questão seja de U$ 18,00? Use um nível de significância de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. A questão nos dá o preço médio de livros em Ciências Sociais, uma amostra desses livros com média e desvio padrão, e pede pra gente verificar se a média real dos preços é realmente
, usando um nível de significância de
. Vamos precisar saber sobre médias amostrais, desvio padrão, e como fazer um teste t.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A hipótese inicial (ou nula) é que o preço médio dos livros é
dólares. A gente vai comparar isso com a média da nossa amostra para ver se há evidências suficientes para dizer que a média real é diferente de
.
Passo 3
Vamos organizar os dados que temos:
- Média populacional hipotética (
): $18,00 - Média amostral (
): $21,60 - Desvio padrão amostral (
): $2,70 - Tamanho da amostra (
): 16 - Nível de significância (
): 10% ou 0,10
Passo 4
Como não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. O teste t nos ajuda a determinar se há diferença significativa entre a média da amostra e a média da população.
Passo 5
Vamos estabelecer nossas hipóteses:
- Hipótese Nula (
): - Hipótese Alternativa (
):
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos saber se a média é diferente, seja maior ou menor.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Precisamos determinar o valor crítico t para nosso teste. Como o nível de significância é de
e o teste é bilateral, dividimos esse valor por 2 para cada cauda da distribuição, ficando
em cada lado. Com
graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos que o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 8
Agora, comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
- Nosso t calculado é
- O valor crítico é
Como
, estamos na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que o preço médio dos livros em Ciências Sociais não é de $18,00.