Suponha uma amostra com 10 elementos cuja média é 110 e o desviopadrão é 10, determinar os intervalos de confiança para verdadeira média populacional ao nível de confiança de: (a) 90 % e (b) 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma amostra com 10 elementos, média de 110 e desvio padrão de 10. O que você precisa é descobrir os intervalos de confiança para a verdadeira média da população com níveis de confiança de 90% e 95%. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente os intervalos de confiança para a média usando a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 10) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos ter 90% e 95% de confiança de que a média verdadeira está dentro desses intervalos.

Passo 3

Como a amostra é pequena (n < 30) e estamos usando o desvio padrão da amostra (10) como uma estimativa do desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular os intervalos de confiança.

Passo 4

A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Intervalo de Confiança = barx pm talpha/2, , df times ( sraizn ) ç
Onde:
  • é a média da amostra (110)
  • é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade ( )
  • é o desvio padrão da amostra (10)
  • é o tamanho da amostra (10)

Passo 5

Vamos calcular os graus de liberdade:
df = n - 1 = 10 - 1 = 9

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores críticos para 90% e 95% de confiança.
  • Para 90% de confiança, , então . O valor crítico é aproximadamente 1.833.
  • Para 95% de confiança, , então . O valor crítico é aproximadamente 2.262.

Passo 7

Vamos calcular o erro padrão da média:
sraizn = 10raiz10 approx 103.162 approx 3.162

Passo 8

Agora, vamos montar os intervalos de confiança.
Para 90% de confiança:
110 pm 1.833 times 3.162 approx 110 pm 5.8
Então, o intervalo é aproximadamente 110 pm 2.262 times 3.162 approx 110 pm 7.16 a .
Para 95% de confiança:
Então, o intervalo é aproximadamente a .

Resposta

Os intervalos de confiança para a verdadeira média populacional são:
  • 90% de confiança: entre aproximadamente 104.2 e 115.8.
  • 95% de confiança: entre aproximadamente 102.84 e 117.16.

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