Suponha uma amostra com 10 elementos cuja média é 110 e o desviopadrão é 10, determinar os intervalos de confiança para verdadeira média populacional ao nível de confiança de: (a)
e (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma amostra com 10 elementos, média de 110 e desvio padrão de 10. O que você precisa é descobrir os intervalos de confiança para a verdadeira média da população com níveis de confiança de 90% e 95%. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente os intervalos de confiança para a média usando a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 10) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos ter 90% e 95% de confiança de que a média verdadeira está dentro desses intervalos.
Passo 3
Como a amostra é pequena (n < 30) e estamos usando o desvio padrão da amostra (10) como uma estimativa do desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular os intervalos de confiança.
Passo 4
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
-
é a média da amostra (110) -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade ( ) -
é o desvio padrão da amostra (10) -
é o tamanho da amostra (10)
Passo 5
Vamos calcular os graus de liberdade:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores críticos
para 90% e 95% de confiança.
- Para 90% de confiança,
, então . O valor crítico é aproximadamente 1.833. - Para 95% de confiança,
, então . O valor crítico é aproximadamente 2.262.
Passo 7
Vamos calcular o erro padrão da média:
Passo 8
Agora, vamos montar os intervalos de confiança.
Para 90% de confiança:
Então, o intervalo é aproximadamente
a
.
Para 95% de confiança:
Então, o intervalo é aproximadamente
a
.
Resposta
Os intervalos de confiança para a verdadeira média populacional são:
- 90% de confiança: entre aproximadamente 104.2 e 115.8.
- 95% de confiança: entre aproximadamente 102.84 e 117.16.