Uma amostra apresentou a seguinte distribuição de frequências:
Classes Frequências
1,00-1,07 14
1,07-1,14 22
1,14-1,21 16
1,21-1,28 13
1,28-1,35 7
1,35-1,42 3
1,42-1,49 4
1,49-1,56 1
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio padrão e o coeficiente de variação…

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela de distribuição de frequências com diferentes classes e suas respectivas frequências. Nosso objetivo é calcular a média, mediana, moda, desvio padrão e o coeficiente de variação dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística, como calcular pontos médios das classes, usar fórmulas de médias e medidas de dispersão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de cada classe. O ponto médio é a média entre o limite inferior e o limite superior da classe. Isso ajuda a representar cada classe por um único valor.
Ponto médio = Limite Inferior + Limite Superior2 é
Vamos calcular:
Classes Frequências (f) Ponto Médio (x)
1,00 -1,07 14 1,035
1,07 -1,14 22 1,105
1,14 -1,21 16 1,175
1,21 -1,28 13 1,245
1,28 -1,35 7 1,315
1,35 -1,42 3 1,385
1,42 -1,49 4 1,455
1,49 -1,56 1 1,525

Passo 3

Agora, vamos calcular a média. A média é a soma do produto de cada ponto médio pela sua frequência, dividida pelo total de frequências.
Média (barx) = sum (x times f)sum f é
Primeiro, calculamos barx = 84,49580 = 1,0561875 para cada classe:
Classes f x x × f
1,00 -1,07 14 1,035 14,49
1,07 -1,14 22 1,105 24,31
1,14 -1,21 16 1,175 18,80
1,21 -1,28 13 1,245 16,185
1,28 -1,35 7 1,315 9,205
1,35 -1,42 3 1,385 4,155
1,42 -1,49 4 1,455 5,82
1,49 -1,56 1 1,525 1,525
Total 80 84,495
Então,
Podemos arredondar para 1,056.

Passo 4

Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que está no meio da distribuição, ou seja, o 40º elemento (já que temos 80 elementos).
Primeiro, acumulamos as frequências:
Classes f Frequência Acumulada
1,00 -1,07 14 14
1,07 -1,14 22 36
1,14 -1,21 16 52
1,21 -1,28 13 65
1,28 -1,35 7 72
1,35 -1,42 3 75
1,42 -1,49 4 79
1,49 -1,56 1 80
O 40º elemento cai na terceira classe (1,14 -1,21).
Usamos a fórmula da mediana:
Mediana = L + ( N2 - CFanteriorf ) times h
Onde:
  • Mediana = 1,14 + ( 40 - 3616 ) times 0,07 = 1,14 + ( 416 ) times 0,07 = 1,14 + 0,0175 = 1,1575 (limite inferior da classe mediana)
  • (amplitude da classe)
Substituindo:
Arredondando, temos 1,158.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a moda. A moda é o valor que mais se repete na distribuição. Observando as frequências, a classe com maior frequência é 1,07 -1,14 com f = 22.
Para uma distribuição de classes, usamos a fórmula:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times h
Onde:
  • Moda = 1,07 + ( 22 - 142 times 22 - 14 - 16 ) times 0,07 = 1,07 + ( 844 - 30 ) times 0,07 = 1,07 + ( 814 ) times 0,07 approx 1,07 + 0,04 = 1,11 (limite inferior da classe modal)
  • (frequência da classe modal)
  • (frequência da classe anterior)
  • (frequência da classe seguinte)
Substituindo:
Então, a moda é aproximadamente 1,11.

Passo 6

Vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, encontramos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças de cada ponto médio para a média, multiplicada pela frequência, e depois dividida pelo total de frequências.
Variância (sigma^2) = sum f times (x - barx)^2N â
Primeiro, calculamos sigma^2 = 2,28773680 = 0,028597 para cada classe e depois sigma = raiz0,028597 approx 0,1692 :
Classes f x
1,00 -1,07 14 1,035 -0,0211875 0,00044938 0,00629125
1,07 -1,14 22 1,105 0,0488125 0,00238171 0,052396
1,14 -1,21 16 1,175 0,1188125 0,0141114 0,225783
1,21 -1,28 13 1,245 0,1888125 0,0356565 0,463324
1,28 -1,35 7 1,315 0,2588125 0,0668031 0,467621
1,35 -1,42 3 1,385 0,3288125 0,1080266 0,324080
1,42 -1,49 4 1,455 0,3988125 0,1590563 0,636225
1,49 -1,56 1 1,525 0,4688125 0,2199991 0,219999
Total 80 2,287736
Então,
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Passo 7

Por fim, vamos calcular o coeficiente de variação, que mostra a variação relativa em relação à média. É dado por:
Coeficiente de Variação = ( sigmabarx ) times 100% çã
Substituindo os valores:
CV = ( 0,16921,056 ) times 100% approx 16,02%

Resposta

  • Média: 1,056
  • Mediana: 1,158
  • Moda: 1,11
  • Desvio Padrão: 0,169
  • Coeficiente de Variação: 16,02%

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