Os registros mostram que há uma probabilidade de 0,0012 de uma pessoa se intoxicar na lanchonete de um parque. Determine a probabilidade de que, de 1.000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem. (Resposta: 0,8794)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a probabilidade de uma pessoa se intoxicar na lanchonete do parque é de 0,0012. Queremos saber qual é a probabilidade de, entre 1.000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem. Vamos usar o teorema binomial para resolver isso, que nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em uma sequência de experimentos independentes.

Passo 2

O teorema binomial é usado quando temos um número fixo de tentativas (n), duas possibilidades de resultado em cada tentativa (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa. No nosso caso:
  • Número de tentativas (n) = 1.000 pessoas
  • Probabilidade de sucesso § = 0,0012 (uma pessoa se intoxica)
  • Queremos a probabilidade de no máximo 2 sucessos (intoxicações)

Passo 3

A fórmula do teorema binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade exatamente k pessoas se intoxicarem.

Passo 4

Queremos calcular a probabilidade de no máximo 2 intoxicações, ou seja, . Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 5

Primeiro, calculamos P(X=0) = binom10000 (0,0012)^0 (1-0,0012)^1000 = 1 times 1 times (0,9988)^1000 :
Usando uma calculadora, .

Passo 6

Agora, calculamos P(X=1) = binom10001 (0,0012)^1 (1-0,0012)^999 = 1000 times 0,0012 times (0,9988)^999 :
Calculando, e .
Então, .

Passo 7

Em seguida, calculamos P(X=2) = binom10002 (0,0012)^2 (1-0,0012)^998 = 1000 times 9992 times (0,0012)^2 times (0,9988)^998 :
Calculando:
Então, .

Resposta

Somando as probabilidades:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) approx 0,3012 + 0,3619 + 0,2163 = 0,8794
Portanto, a probabilidade de que, de 1.000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem é aproximadamente 0,8794.

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