Uma amostra circular de óxido de alumínio é carregada usando um ensaio de flexão em três pontos. Calcule o raio mínimo possivel para a amostra para que não ocorra fratura, dado que a carga aplicada é de 363 N , a resistência à flexão é de 79MPa e a separação entre os pontos de aplicação da carga é de 40 mm .
FORMULÁRIO:
l FORMULÁRIO: sigmar f=3 Ff L2 b d^2 & sigmar f=Ff Lpi R^3 I=b d^312 DeÁ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra circular de óxido de alumínio que está sendo submetida a um ensaio de flexão em três pontos. O que precisamos descobrir é qual o raio mínimo que essa amostra pode ter para que ela não quebre quando aplicamos uma carga de 363 N. Sabemos também que a resistência à flexão desse material é de 79 MPa e que a distância entre os pontos onde a carga é aplicada é de 40 mm. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, principalmente relacionados à resistência dos materiais em flexão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula que vamos usar. No enunciado, temos duas fórmulas relacionadas à resistência à flexão ( sigmarf):
sigmarf = Ff Lpi R^3
Aqui:
  • Ff é a força aplicada (363 N),
  • L é a distância entre os pontos de aplicação da carga (40 mm),
  • R é o raio que queremos encontrar,
  • sigmarf é a resistência à flexão (79 MPa).
Nossa meta é isolar R nessa fórmula para calcular o raio mínimo.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver para R:
R^3 = Ff Lpi sigmarf
Agora, isolando R:
R = ( Ff Lpi sigmarf )^1/3

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula. Mas antes, é importante garantir que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter tudo para o Sistema Internacional (SI):
  • Força ( Ff): 363 N (já está em Newtons, então não precisa mudar),
  • Distância ( L): 40 mm = 0,04 metros,
  • Resistência à flexão ( sigmarf): 79 MPa = 79 times 10^6 N/m².
Agora, substituindo na fórmula:
R = ( 363 , N times 0,04 , mpi times 79 times 10^6 , N/m^2 )^1/3
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador: 363 times 0,04 = 14,52
Denominador: pi times 79 times 10^6 approx 3,1416 times 79 times 10^6 approx 248,05 times 10^6
Agora, dividindo:
14,52248,05 times 10^6 approx 5,853 times 10^-8
Agora, tiramos a raiz cúbica desse valor:
R = (5,853 times 10^-8)^1/3 approx 3,89 times 10^-3 , m
Convertendo para milímetros:
3,89 times 10^-3 , m = 3,89 , mm

Resposta

O raio mínimo possível para a amostra de óxido de alumínio, de forma a evitar fratura sob a carga aplicada, é aproximadamente 3,89 mm.

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