Uma amostra da população
forneceu os valores
e 9, e uma amostra da população B forneceu os valores 14, 16, 16 e 10. Supondo que a variável em análise tem distribuição normal com variância
, teste, ao nível de significância de (a)
e (b)
, a hipótese de que a média da população
é igual a média da população
.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para comparar as médias de duas populações, A e B, usando os valores fornecidos. A gente vai testar se a média da população A é igual à média da população B. Para isso, vamos usar o teste t de Student para duas amostras independentes, que é apropriado quando assumimos que as variâncias são iguais e a distribuição é normal. Vamos precisar calcular as médias e os desvios padrões das duas amostras e depois aplicar a fórmula do teste t. Também vamos usar o software Gretl para replicar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados das duas populações:
- População A: 10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9
- População B: 14, 16, 16, 10
Vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) de cada amostra.
Passo 3
Calculando a média da População A:
Calculando a média da População B:
Passo 4
Calculando o desvio padrão da População A:
Primeiro, encontramos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média:
Então, o desvio padrão:
Calculando o desvio padrão da População B:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. Como assumimos variâncias iguais, usamos a variância combinada:
Ergo, o erro padrão da diferença das médias:
Passo 6
Agora, calculamos o valor t:
Como estamos testando se as médias são iguais, consideramos o valor absoluto de t para consultar a tabela t.
Passo 7
Determinar os graus de liberdade (df):
Agora, vamos comparar o valor de t calculado com os valores críticos da distribuição t para df = 11 nos níveis de significância de 5% e 1%.
Passo 8
Consultando a tabela t para df = 11:
- Nível de 5% (teste bicaudal): o valor crítico é aproximadamente 2.201
- Nível de 1% (teste bicaudal): o valor crítico é aproximadamente 3.106
Comparando com nosso t calculado (~2.252):
- Para 5%: |t| = 2.252 > 2.201 → Rejeitamos a hipótese nula
- Para 1%: |t| = 2.252 < 3.106 → Não rejeitamos a hipótese nula
Passo 9
Resposta Final:
(a) Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.
(b) Ao nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.
Passo 10
Replicando no Gretl:
- Abra o Gretl e insira os dados das duas populações em duas variáveis diferentes.
- Vá em Modelos > Selecionar Modelo > Teste t para duas amostras.
- Selecione as duas variáveis correspondentes às populações A e B.
- Escolha a hipótese de igualdade das médias e defina os níveis de significância (5% e 1%).
- Execute o teste para obter os resultados, que devem coincidir com os cálculos feitos manualmente.
Resposta
(a) Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.
(b) Ao nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.