Uma amostra da população A forneceu os valores 10,4,8,11,14,12,9,13 e 9, e uma amostra da população B forneceu os valores 14, 16, 16 e 10. Supondo que a variável em análise tem distribuição normal com variância sigma^2, teste, ao nível de significância de (a) 5 % e (b) 1 %, a hipótese de que a média da população A é igual a média da população B.
Replique a questão utilizando o Gretl.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para comparar as médias de duas populações, A e B, usando os valores fornecidos. A gente vai testar se a média da população A é igual à média da população B. Para isso, vamos usar o teste t de Student para duas amostras independentes, que é apropriado quando assumimos que as variâncias são iguais e a distribuição é normal. Vamos precisar calcular as médias e os desvios padrões das duas amostras e depois aplicar a fórmula do teste t. Também vamos usar o software Gretl para replicar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados das duas populações:
  • População A: 10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9
  • População B: 14, 16, 16, 10
Vamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) de cada amostra.

Passo 3

Calculando a média da População A:
barxA = 10 + 4 + 8 + 11 + 14 + 12 + 9 + 13 + 99 = 909 = 10
Calculando a média da População B:
barxB = 14 + 16 + 16 + 104 = 564 = 14

Passo 4

Calculando o desvio padrão da População A:
Primeiro, encontramos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média:
sum (xi - barxA)^2 = (10-10)^2 + (4-10)^2 + dots + (9-10)^2 = 4 + 36 + 0 + 1 + 16 + 4 + 1 + 9 + 1 = 72
Então, o desvio padrão:
sA = raizsum (xi - barxA)^2nA - 1 = raiz729-1 = raiz9 = 3
Calculando o desvio padrão da População B:
sum (xi - barxB)^2 = (14-14)^2 + (16-14)^2 + (16-14)^2 + (10-14)^2 = 0 + 4 + 4 + 16 = 24
sB = raiz244-1 = raiz8 approx 2.828

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. Como assumimos variâncias iguais, usamos a variância combinada:
sp^2 = (nA - 1)sA^2 + (nB - 1)sB^2nA + nB - 2 = (9-1)(3)^2 + (4-1)(2.828)^29 + 4 - 2 = 8 times 9 + 3 times 811 = 72 + 2411 = 9611 approx 8.727
sp = raiz8.727 approx 2.955
Ergo, o erro padrão da diferença das médias:
SE = sp raiz1nA + 1nB = 2.955 raiz19 + 14 = 2.955 raiz0.111 + 0.25 = 2.955 raiz0.361 approx 2.955 times 0.601 approx 1.776

Passo 6

Agora, calculamos o valor t:
t = barxA - barxBSE = 10 - 141.776 approx -41.776 approx -2.252
Como estamos testando se as médias são iguais, consideramos o valor absoluto de t para consultar a tabela t.

Passo 7

Determinar os graus de liberdade (df):
df = nA + nB - 2 = 9 + 4 - 2 = 11
Agora, vamos comparar o valor de t calculado com os valores críticos da distribuição t para df = 11 nos níveis de significância de 5% e 1%.

Passo 8

Consultando a tabela t para df = 11:
  • Nível de 5% (teste bicaudal): o valor crítico é aproximadamente 2.201
  • Nível de 1% (teste bicaudal): o valor crítico é aproximadamente 3.106
Comparando com nosso t calculado (~2.252):
  • Para 5%: |t| = 2.252 > 2.201 → Rejeitamos a hipótese nula
  • Para 1%: |t| = 2.252 < 3.106 → Não rejeitamos a hipótese nula

Passo 9

Resposta Final:
(a) Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.
(b) Ao nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.

Passo 10

Replicando no Gretl:
  1. Abra o Gretl e insira os dados das duas populações em duas variáveis diferentes.
  2. Vá em Modelos > Selecionar Modelo > Teste t para duas amostras.
  3. Selecione as duas variáveis correspondentes às populações A e B.
  4. Escolha a hipótese de igualdade das médias e defina os níveis de significância (5% e 1%).
  5. Execute o teste para obter os resultados, que devem coincidir com os cálculos feitos manualmente.

Resposta

(a) Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.
(b) Ao nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a média da população A é igual à média da população B.

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