Uma urna contém seis bolas, das quais theta são brancas e 6-theta são pretas. Para testar a hipótese da nulidade de que theta=3 contra a hipótese alternativa de que theta neq 3, são retiradas da urna duas bolas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese de nulidade se as duas forem da mesma cor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma urna com 6 bolas, onde theta são brancas e 6-theta são pretas. A gente quer testar se a quantidade de bolas brancas é 3 (hipótese nula) contra a ideia de que não é 3 (hipótese alternativa). Para isso, vamos tirar duas bolas de graça, sem colocar de volta, e se as duas forem da mesma cor, a gente rejeita a hipótese de que theta = 3.
Neste exercício, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente teste de hipóteses e probabilidade combinatória. Vamos precisar calcular as probabilidades de tirar duas bolas brancas ou duas bolas pretas quando theta = 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cenário da hipótese nula: theta = 3. Ou seja, na urna tem exatamente 3 bolas brancas e 3 bolas pretas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas brancas. Como temos 3 brancas e 6 bolas no total, a probabilidade de tirar a primeira branca é 36 = 12. Depois de tirar uma branca, ficam 2 brancas e 5 bolas no total. Então, a probabilidade de tirar a segunda branca é 25. Multiplicando essas probabilidades, temos:
P(duas brancas) = 36 times 25 = 12 times 25 = 15

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas pretas. Com 3 pretas na urna inicialmente, a probabilidade de tirar a primeira preta é 36 = 12. Depois, ficam 2 pretas e 5 bolas no total. A probabilidade de tirar a segunda preta é 25. Então:
P(duas pretas) = 36 times 25 = 12 times 25 = 15

Passo 5

Como queremos rejeitar a hipótese nula se as duas bolas forem da mesma cor, precisamos somar as probabilidades de tirar duas brancas ou duas pretas:
P(mesma cor) = P(duas brancas) + P(duas pretas) = 15 + 15 = 25

Resposta

A probabilidade de rejeitar a hipótese de que theta = 3 (ou seja, as duas bolas serem da mesma cor) é 25.

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