Uma urna contém seis bolas, das quais
são brancas e
são pretas. Para testar a hipótese da nulidade de que
contra a hipótese alternativa de que
, são retiradas da urna duas bolas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese de nulidade se as duas forem da mesma cor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma urna com 6 bolas, onde
são brancas e
são pretas. A gente quer testar se a quantidade de bolas brancas é 3 (hipótese nula) contra a ideia de que não é 3 (hipótese alternativa). Para isso, vamos tirar duas bolas de graça, sem colocar de volta, e se as duas forem da mesma cor, a gente rejeita a hipótese de que
.
Neste exercício, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente teste de hipóteses e probabilidade combinatória. Vamos precisar calcular as probabilidades de tirar duas bolas brancas ou duas bolas pretas quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cenário da hipótese nula:
. Ou seja, na urna tem exatamente 3 bolas brancas e 3 bolas pretas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas brancas. Como temos 3 brancas e 6 bolas no total, a probabilidade de tirar a primeira branca é
. Depois de tirar uma branca, ficam 2 brancas e 5 bolas no total. Então, a probabilidade de tirar a segunda branca é
. Multiplicando essas probabilidades, temos:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas pretas. Com 3 pretas na urna inicialmente, a probabilidade de tirar a primeira preta é
. Depois, ficam 2 pretas e 5 bolas no total. A probabilidade de tirar a segunda preta é
. Então:
Passo 5
Como queremos rejeitar a hipótese nula se as duas bolas forem da mesma cor, precisamos somar as probabilidades de tirar duas brancas ou duas pretas:
Resposta
A probabilidade de rejeitar a hipótese de que
(ou seja, as duas bolas serem da mesma cor) é
.