Suponhamos que a experiência tem mostrado que são reprovados
dos alunos que se submetem a determinado tipo de exame. Se, de uma turma de 100 alunos, forem reprovados apenas 13, podemos concluir, em um teste unilateral, ao nível de significância de
, que os alunos da turma são, em média, os melhores?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. Temos uma situação em que, normalmente, 20% dos alunos são reprovados em um determinado exame. Em uma turma específica de 100 alunos, apenas 13 foram reprovados. A pergunta é: podemos concluir, com um teste estatístico unilateral e um nível de significância de 5%, que esses alunos são, em média, melhores do que o esperado?
Para resolver isso, vamos usar teste de proporção. Precisamos comparar a proporção observada de reprovação na turma com a proporção conhecida (20%) e verificar se a diferença é estatisticamente significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. Como queremos verificar se a proporção de reprovação nesta turma é menor do que o normal, configuramos:
- Hipótese nula (H₀): A proporção de reprovação na turma é igual a 20%, ou seja, $ p = 0{,}20 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A proporção de reprovação na turma é menor que 20%, ou seja, $ p < 0{,}20 $.
Estamos usando um teste unilateral porque estamos interessados apenas em saber se a proporção é menor, não se é diferente de 20% de qualquer forma.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada de reprovação na turma. Temos 13 reprovados em 100 alunos:
Queremos ver se essa proporção de 13% é significativamente menor que os 20% esperados.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão (EP) da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão é:
Onde:
- $ p = 0{,}20 $ (proporção esperada)
- $ n = 100 $ (tamanho da amostra)
Substituindo:
Passo 5
Agora, calculamos o valor do teste (z), que nos ajuda a determinar quantos desvios padrão a proporção observada está da proporção esperada:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o valor de z calculado, precisamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5%. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que o valor crítico para 5% no lado esquerdo é aproximadamente -1{,}645.
Passo 7
Comparamos o valor de z calculado com o valor crítico:
Como $ z = -1{,}75 $ é menor que $ -1{,}645 $, isso significa que a proporção observada está na região crítica.
Resposta
Como o valor de z calculado (-1{,}75) é menor que o valor crítico (-1{,}645), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, podemos concluir, com 95% de confiança, que os alunos dessa turma têm uma taxa de reprovação significativamente menor que a média histórica de 20%, indicando que, em média, eles são melhores.