Suponhamos que a experiência tem mostrado que são reprovados 20 % dos alunos que se submetem a determinado tipo de exame. Se, de uma turma de 100 alunos, forem reprovados apenas 13, podemos concluir, em um teste unilateral, ao nível de significância de 5 %, que os alunos da turma são, em média, os melhores?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. Temos uma situação em que, normalmente, 20% dos alunos são reprovados em um determinado exame. Em uma turma específica de 100 alunos, apenas 13 foram reprovados. A pergunta é: podemos concluir, com um teste estatístico unilateral e um nível de significância de 5%, que esses alunos são, em média, melhores do que o esperado?
Para resolver isso, vamos usar teste de proporção. Precisamos comparar a proporção observada de reprovação na turma com a proporção conhecida (20%) e verificar se a diferença é estatisticamente significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. Como queremos verificar se a proporção de reprovação nesta turma é menor do que o normal, configuramos:
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de reprovação na turma é igual a 20%, ou seja, $ p = 0{,}20 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de reprovação na turma é menor que 20%, ou seja, $ p < 0{,}20 $.
Estamos usando um teste unilateral porque estamos interessados apenas em saber se a proporção é menor, não se é diferente de 20% de qualquer forma.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada de reprovação na turma. Temos 13 reprovados em 100 alunos:
p = 13100 = 0,13
Queremos ver se essa proporção de 13% é significativamente menor que os 20% esperados.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão (EP) da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão é:
EP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ p = 0{,}20 $ (proporção esperada)
  • $ n = 100 $ (tamanho da amostra)
Substituindo:
p = 0,20

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste (z), que nos ajuda a determinar quantos desvios padrão a proporção observada está da proporção esperada:
z = p - pEP
Substituindo os valores:
z = 0,13 - 0,200,04 = -0,070,04 = -1,75

Passo 6

Com o valor de z calculado, precisamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5%. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que o valor crítico para 5% no lado esquerdo é aproximadamente -1{,}645.

Passo 7

Comparamos o valor de z calculado com o valor crítico:
-1,75 < -1,645
Como $ z = -1{,}75 $ é menor que $ -1{,}645 $, isso significa que a proporção observada está na região crítica.

Resposta

Como o valor de z calculado (-1{,}75) é menor que o valor crítico (-1{,}645), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, podemos concluir, com 95% de confiança, que os alunos dessa turma têm uma taxa de reprovação significativamente menor que a média histórica de 20%, indicando que, em média, eles são melhores.

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