Uma amostra de quatro valores da variável X, com distribuição normal, apresentou os valores 8,3, 5 e 12. Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 13.
Replique a questão utilizando o Gretl.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testar se a média de uma população é igual a 13, usando uma amostra de 4 valores que seguem uma distribuição normal: 8, 3, 5 e 12. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste t de Student para uma média. Vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t para ver se a média da população realmente pode ser 13 com 95% de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) da nossa amostra. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
barx = 8 + 3 + 5 + 124 = 284 = 7
Então, a média da amostra é 7.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra (s). Primeiro, encontramos a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada termo:
(8 - 7)^2 = 1^2 = 1
(3 - 7)^2 = (-4)^2 = 16
(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4
(12 - 7)^2 = 5^2 = 25
Somando tudo:
1 + 16 + 4 + 25 = 46
Agora, dividimos pelo número de graus de liberdade (n - 1 = 3):
s = raiz463 approx raiz15,33 approx 3,915
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 3,915.

Passo 4

Vamos agora formular a hipótese que queremos testar:
  • Hipótese Nula ( H0): A média da população é 13 ( mu = 13).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A média da população não é 13 ( mu neq 13).
Estamos usando um nível de significância de 5% ( alpha = 0,05), e como não especificamos direção, é um teste bicaudal.

Passo 5

Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 7
  • mu0 = 13
  • s approx 3,915
  • n = 4
Substituindo os valores:
t = 7 - 133,915 / raiz4 = -63,915 / 2 = -61,9575 approx -3,068
Então, o valor de t é aproximadamente -3,068.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para o nosso teste. Como é um teste bicaudal com alpha = 0,05 e df = n - 1 = 3, buscamos na tabela t de Student o valor para 0,025 em cada cauda.
Consultando a tabela, o valor crítico de t para df = 3 e alpha/2 = 0,025 é aproximadamente ±3,182.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
-3,068 vs -3,182 e 3,068 vs 3,182
Como -3,068 está dentro de -3,182 e 3,068 está dentro de 3,182, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que a média da população é igual a 13 ao nível de significância de 5%.

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