Uma amostra de quatro valores da variável
, com distribuição normal, apresentou os valores 8,3, 5 e 12. Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 13.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Replique a questão utilizando o Gretl.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testar se a média de uma população é igual a 13, usando uma amostra de 4 valores que seguem uma distribuição normal: 8, 3, 5 e 12. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste t de Student para uma média. Vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t para ver se a média da população realmente pode ser 13 com 95% de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) da nossa amostra. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
Então, a média da amostra é 7.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra (s). Primeiro, encontramos a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, dividimos pelo número de graus de liberdade (n - 1 = 3):
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 3,915.
Passo 4
Vamos agora formular a hipótese que queremos testar:
- Hipótese Nula (
): A média da população é 13 ( ). - Hipótese Alternativa (
): A média da população não é 13 ( ).
Estamos usando um nível de significância de 5% (
), e como não especificamos direção, é um teste bicaudal.
Passo 5
Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
Onde:
Substituindo os valores:
Então, o valor de t é aproximadamente -3,068.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para o nosso teste. Como é um teste bicaudal com
e
, buscamos na tabela t de Student o valor para
em cada cauda.
Consultando a tabela, o valor crítico de t para
e
é aproximadamente ±3,182.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
Como
está dentro de
e
está dentro de
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que a média da população é igual a 13 ao nível de significância de 5%.