Uma amostra de sólidos apresentou a seguinte análise com peneiras do sistema Tyler:
Peneira (mesh) Fração mássica retida
-10 +14 0,0006
-14 +20 0,0054
-20 +28 0,086
-28 +35 0,186
-35 +48 0,258
-48 +65 0,281
-65 +100 0,096
-100 +150 0,062
-150 +200 0,025
Soma 1,0000
a) Calcule os valores das curvas cumulativas de tamanho menor e de tamanho maior;
b) Calcule o diâmetro médio de Sauter a partir dos dados de peneiramento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma análise de peneiras de uma amostra de sólidos usando o sistema Tyler. O que a questão pede é:
a) Calcular as curvas cumulativas de tamanho menor e de tamanho maior.
b) Calcular o diâmetro médio de Sauter a partir dos dados de peneiramento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre análise granulométrica, curvas cumulativas e o diâmetro médio de Sauter. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) - Curvas Cumulativas
Primeiro, vamos entender o que são as curvas cumulativas. Elas mostram, para cada tamanho de partícula, a fração acumulada de partículas que são menores ou maiores que esse tamanho. Isso nos ajuda a visualizar a distribuição de tamanhos na amostra.
Você vai precisar das frações mássicas retidas em cada peneira para calcular essas curvas.

Passo 3

Calculando a Curva Cumulativa de Tamanho Menor
Para a curva de tamanho menor, para cada peneira, somamos todas as frações retidas nas peneiras iguais ou menores que a atual. Isso nos dá a fração acumulada de partículas que são menores ou iguais a determinado tamanho.

Passo 4

Calculando a Curva Cumulativa de Tamanho Maior
Já para a curva de tamanho maior, para cada peneira, somamos todas as frações retidas nas peneiras iguais ou maiores que a atual. Isso nos dá a fração acumulada de partículas que são maiores ou iguais a determinado tamanho.

Passo 5

Exemplo de Cálculo
Vamos calcular para a primeira peneira (-10+14 mesh):
  • Menor ou igual a -10 mesh: Apenas a fração na peneira -10, que é 0,0006.
  • Maior ou igual a -10 mesh: Soma de todas as frações retidas, que é 1,0000.
Repetimos esse processo para todas as peneiras.

Passo 6

Resultados das Curvas Cumulativas
Após calcular todas as frações acumuladas, teremos duas curvas:
  • Curva Cumulativa de Tamanho Menor:
Peneira (mesh) Fração Cumulativa ≤
-10 0,0006
-14 0,0060
-20 0,0920
-28 0,2780
-35 0,5360
-48 0,8170
-65 0,9130
-100 0,9750
-150 1,0000
  • Curva Cumulativa de Tamanho Maior:
Peneira (mesh) Fração Cumulativa ≥
-10 1,0000
-14 0,9994
-20 0,9940
-28 0,9896
-35 0,9046
-48 0,6466
-65 0,3886
-100 0,3126
-150 0,2376

Passo 7

Parte b) - Diâmetro Médio de Sauter
O diâmetro médio de Sauter (D₃₂) é uma medida que representa o diâmetro de uma partícula que tem a mesma área superficial de todas as partículas na amostra. Ele é muito útil em processos que dependem da área superficial, como reações químicas.
A fórmula para calcular o diâmetro médio de Sauter é:
D32 = sum (Fi times Di^3)sum (Fi times Di^2)
Onde:
  • é a fração mássica retida na peneira i.
  • é o diâmetro da peneira i.

Passo 8

Calculando o Diâmetro Médio de Sauter
Vamos aplicar a fórmula usando os dados fornecidos:
  1. Calcular para cada peneira.
  2. Calcular para cada peneira.
  3. Somar todos os valores de e .
  4. Dividir a soma de pela soma de .
Vamos assumir que o diâmetro é o valor médio das duas malhas de cada peneira. Por exemplo, para a peneira -10+14 mesh, mesh.

Passo 9

Realizando os Cálculos
Vamos calcular cada termo:
Peneira (mesh) (mesh)
-10+14 12 0,0006 × 12³ = 0,0006 × 1728 = 1,0368 0,0006 × 12² = 0,0006 × 144 = 0,0864
-14+20 17 0,0054 × 17³ = 0,0054 × 4913 = 26,581 0,0054 × 17² = 0,0054 × 289 = 1,5606
-20+28 24 0,086 × 24³ = 0,086 × 13824 = 1188,864 0,086 × 24² = 0,086 × 576 = 49,536
-28+35 31,5 0,186 × 31,5³ ≈ 0,186 × 31248,375 ≈ 5820,964 0,186 × 31,5² ��� 0,186 × 992,25 ≈ 184,8585
-35+48 41,5 0,258 × 41,5³ ≈ 0,258 × 71442,875 ≈ 18394,309 0,258 × 41,5² ≈ 0,258 × 1722,25 ≈ 443,4445
-48+65 56,5 0,281 × 56,5³ ≈ 0,281 × 180422,125 ≈ 50719,396 0,281 × 56,5² ≈ 0,281 × 3192,25 ≈ 898,5883
-65+100 82,5 0,096 × 82,5³ ≈ 0,096 × 560,6625 ≈ 53,750 0,096 × 82,5² ≈ 0,096 × 6806,25 ≈ 653,4
-100+150 125 0,062 × 125³ = 0,062 × 1953125 = 120,9375 0,062 × 125² = 0,062 × 15625 = 968,75
-150+200 175 0,025 × 175³ = 0,025 × 5359375 = 133,984375 0,025 × 175² = 0,025 × 30625 = 765,625
Somando todos os valores:

Passo 10

Calculando D₃₂
Agora, aplicamos a fórmula:
D32 = 75838,3574057,6493 ≈ 18,68 mesh

Resposta

a) As curvas cumulativas de tamanho menor e de tamanho maior são apresentadas nas tabelas acima.
b) O diâmetro médio de Sauter é aproximadamente 18,68 mesh.

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