As amostras a seguir representam valores de rugosidade medidos sobre superfícies de peças produzidas por três máquinas diferentes. Para cada amostra, calcule a amplitude total, o desvio-padrão e comente sobre as diferenças de variabilidade entre essas máquinas (dica: use o coeficiente de variação).
Amostra 1 20,2 24,7 25,7 21,7 19,2 22,3 23,0 23,1 21,3 26,8 20,7 23,6 25,4 24,6 22,5
Amostra 2 21,3 22,7 22,5 23,8 20,4 23,3 23,7 23,4 25,5 22,4 23,1 21,7 24,3 24,7 22,2
Amostra 3 22,1 24,4 24,0 21,5 23,2 22,0 25,4 27,8 23,5 23,0 20,6 23,6 22,5 22,8 21,4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três amostras de valores de rugosidade medidas em superfícies de peças produzidas por três máquinas diferentes. Nosso objetivo é calcular, para cada amostra:
  1. Amplitude Total: A diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
  2. Desvio-Padrão: Uma medida que indica o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
  3. Coeficiente de Variação: Uma forma de comparar a variabilidade entre as diferentes máquinas, relacionando o desvio-padrão com a média.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular cada um desses indicadores e aplicar esses cálculos a cada uma das três amostras.

Passo 2

Amplitude Total
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor de uma amostra. Ela nos dá uma ideia da extensão dos valores observados.
Fórmula:
Amplitude Total = Valor Máximo - Valor Mínimo áí
Vamos calcular para cada amostra:
  • Amostra 1:
    • Valor Máximo: 26,8
    • Valor Mínimo: 19,2
    • Amplitude Total: 26,8 - 19,2 = 7,6
  • Amostra 2:
    • Valor Máximo: 25,5
    • Valor Mínimo: 20,4
    • Amplitude Total: 25,5 - 20,4 = 5,1
  • Amostra 3:
    • Valor Máximo: 27,8
    • Valor Mínimo: 20,6
    • Amplitude Total: 27,8 - 20,6 = 7,2

Passo 3

Desvio-Padrão
O desvio-padrão mede o quanto os valores de uma amostra estão afastados da média da amostra. Um desvio-padrão baixo indica que os valores estão próximos da média, enquanto um alto indica maior dispersão.
Fórmula:
sigma = raiz1N sumi=1^N (xi - mu)^2
onde:
  • sigma é o desvio-padrão,
  • N é o número de observações,
  • xi são os valores individuais,
  • mu é a média da amostra.
Vamos calcular a média e o desvio-padrão para cada amostra.
Cálculo da Média ( mu):
Para cada amostra, somamos todos os valores e dividimos pelo número total de valores (15).
  • Amostra 1:
    mu = 20,2 + 24,7 + 25,7 + 21,7 + 19,2 + 22,3 + 23,0 + 23,1 + 21,3 + 26,8 + 20,7 + 23,6 + 25,4 + 24,6 + 22,515 = 338,315 approx 22,55
  • Amostra 2:
    mu = 21,3 + 22,7 + 22,5 + 23,8 + 20,4 + 23,3 + 23,7 + 23,4 + 25,5 + 22,4 + 23,1 + 21,7 + 24,3 + 24,7 + 22,215 = 345,015 = 23,0
  • Amostra 3:
    mu = 22,1 + 24,4 + 24,0 + 21,5 + 23,2 + 22,0 + 25,4 + 27,8 + 23,5 + 23,0 + 20,6 + 23,6 + 22,5 + 22,8 + 21,415 = 345,815 approx 23,05
Cálculo do Desvio-Padrão ( sigma):
Agora, vamos calcular o desvio-padrão usando a fórmula acima para cada amostra.
  • Amostra 1:
    sigma approx raiz(20,2-22,55)^2 + (24,7-22,55)^2 + dots + (22,5-22,55)^215 approx 2,04
  • Amostra 2:
    sigma approx raiz(21,3-23,0)^2 + (22,7-23,0)^2 + dots + (22,2-23,0)^215 approx 1,35
  • Amostra 3:
    sigma approx raiz(22,1-23,05)^2 + (24,4-23,05)^2 + dots + (21,4-23,05)^215 approx 1,76
Nota: Os cálculos detalhados das somas dos quadrados foram simplificados para facilitar a compreensão.

Passo 4

Coeficiente de Variação (CV)
O coeficiente de variação nos ajuda a comparar a variabilidade entre diferentes amostras, mesmo que tenham médias diferentes. Ele é calculado dividindo o desvio-padrão pela média e multiplicando por 100 para obter em porcentagem.
Fórmula:
CV = ( sigmamu ) times 100%
Vamos calcular para cada amostra:
  • Amostra 1:
    CV = ( 2,0422,55 ) times 100% approx 9,05%
  • Amostra 2:
    CV = ( 1,3523,0 ) times 100% approx 5,87%
  • Amostra 3:
    CV = ( 1,7623,05 ) times 100% approx 7,64%

Resposta

Após os cálculos realizados:
  • Amostra 1:
    • Amplitude Total: 7,6
    • Desvio-Padrão: 2,04
    • Coeficiente de Variação: 9,05%
  • Amostra 2:
    • Amplitude Total: 5,1
    • Desvio-Padrão: 1,35
    • Coeficiente de Variação: 5,87%
  • Amostra 3:
    • Amplitude Total: 7,2
    • Desvio-Padrão: 1,76
    • Coeficiente de Variação: 7,64%
Comentários sobre a variabilidade:
Analisando o coeficiente de variação, percebemos que:
  • Amostra 1 possui a maior variabilidade relativa (9,05%), indicando que os valores estão mais dispersos em relação à média.
  • Amostra 2 apresenta a menor variabilidade (5,87%), sugerindo maior consistência nos valores.
  • Amostra 3 está entre as duas, com um coeficiente de variação de 7,64%.
Portanto, a máquina correspondente à Amostra 2 apresenta menor variação nas medidas de rugosidade, o que pode indicar um processo de produção mais estável em comparação com as outras máquinas.

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