Suponha que uma v. a. X tenha distribuição binomial, com média E(X)=4 e variância V(X)=3.
b. Calcule P(X<2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial. Sabemos que a média de é e a variância é . Nosso objetivo é calcular a probabilidade de ser menor que 2, ou seja, .
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos da distribuição binomial, como a relação entre média, variância, número de tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: E(X) = n cdot p (número de tentativas) e V(X) = n cdot p cdot (1 - p) (probabilidade de sucesso em cada tentativa). As fórmulas para a média e a variância são:
Sabemos que e . Vamos usar essas equações para encontrar e .

Passo 3

Primeiro, usamos a fórmula da média:
4 = n cdot p Rightarrow n = 4p
Em seguida, substituímos 3 = ( 4p ) cdot p cdot (1 - p) na fórmula da variância:
3 = 4 cdot (1 - p)
1 - p = 34 Rightarrow p = 14

Passo 4

Agora que temos n = 414 = 16 , podemos encontrar :
Portanto, a distribuição binomial é .

Passo 5

Queremos calcular P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) , que é a probabilidade de P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k ser 0 ou 1:
Usando a fórmula da probabilidade binomial:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos P(X = 0) = binom160 (14)^0 (34)^16 = 1 cdot 1 cdot (34)^16 :
P(X = 0) = (34)^16 approx 0.0100

Passo 7

Em seguida, calculamos P(X = 1) = binom161 (14)^1 (34)^15 = 16 cdot 14 cdot (34)^15 :
P(X = 1) = 4 cdot (34)^15 approx 0.0283

Passo 8

Agora, somamos as duas probabilidades:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0.0100 + 0.0283 = 0.0383

Resposta

A probabilidade de ser menor que 2 é aproximadamente ou 3,83%.

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