Ao analisar o transporte de massa de oxigênio dissolvido no filme em queda, você pode assumir o seguinte: (1) o processo é diluído em relação ao oxigênio dissolvido no fluido; (2) O filme líquido em queda tem um perfil de velocidade plano com velocidade v máx á; (3) o espaço de gás contém sempre 100 % de oxigênio; (5) a largura do filme líquido, W, é muito maior que o comprimento do filme líquido, L.
a) Simplifique a equação diferencial geral para transferência de O2. Se sua análise sugerir mais de uma dimensão para fluxo, forneça uma equação de fluxo simplificada para cada coordenada de interesse.
b) Forneça uma equação diferencial simplificada em termo dos fluxos e outra equação diferencial em termos da concentração de oxigênio cA.
c) Liste as condições de contorno associadas ao processo de transferência de massa de oxigênio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre transporte de massa de oxigênio dissolvido em um filme líquido que está caindo. O que a gente precisa é simplificar a equação diferencial geral que descreve esse processo, entender os fluxos envolvidos e listar as condições de contorno. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de massa, como a lei de Fick, que relaciona o fluxo de massa com o gradiente de concentração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de transferência de massa, que geralmente é dada por:
partial cApartial t + nabla cdot JA = 0
Aqui, é a concentração do oxigênio e é o fluxo de massa de .

Passo 3

Mas, segundo as condições do problema:
  1. O processo é diluído, então podemos ignorar termos de reação.
  2. O perfil de velocidade é plano, com velocidade máxima á.
  3. O espaço de gás tem 100% de oxigênio.
  4. A largura do filme líquido é muito maior que o comprimento .
Essas simplificações nos indicam que podemos tratar o fluxo principalmente na direção do fluxo, reduzindo a equação para uma dimensão.

Passo 4

Como o fluxo é principalmente na direção vmáx dcAdx = D d^2cAdx^2 , a equação de transferência de massa fica:
á
Aqui, é o coeficiente de difusão do oxigênio no líquido.

Passo 5

Então, a equação diferencial simplificada para transferência de vmáx dcAdx = D d^2cAdx^2 na direção é:
á
Isso simplifica o problema para uma única dimensão, já que as outras direções são negligenciáveis devido à grande largura do filme.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos expressar a equação em termos de fluxos. O fluxo convectivo é dJconvdx + dJdiffdx = 0 á e o fluxo difusivo é vmáx dcAdx = D d^2cAdx^2 .
Substituindo esses fluxos na equação geral:
O que simplifica para:
á

Passo 7

Agora, em termos da concentração vmáx dcAdx = D d^2cAdx^2 , a equação diferencial permanece:
á
Isso mostra como a concentração de oxigênio varia ao longo do comprimento do filme líquido.

Passo 8

Por fim, na parte ©, precisamos listar as condições de contorno para esse processo de transferência de massa. Geralmente, temos:
  1. Condição na interface líquido-gas ( cA = cA^* ):
    cA to cA,infty
    Onde é a concentração de oxigênio no equilíbrio na interface.
  2. Condição à medida que tende ao infinito ( ):
    Onde é a concentração de oxigênio distante da interface, geralmente a concentração no líquido sem transferência.

Resposta

Simplificamos a equação diferencial para transferência de vmáx dcAdx = D d^2cAdx^2 na direção como:
á
Além disso, estabelecemos as condições de contorno:
  1. na interface ( )
  2. quando

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