Ao analisar o transporte de massa de oxigênio dissolvido no filme em queda, você pode assumir o seguinte: (1) o processo é diluído em relação ao oxigênio dissolvido no fluido; (2) O filme líquido em queda tem um perfil de velocidade plano com velocidade á; (3) o espaço de gás contém sempre de oxigênio; (5) a largura do filme líquido, W, é muito maior que o comprimento do filme líquido, L.
a) Simplifique a equação diferencial geral para transferência de . Se sua análise sugerir mais de uma dimensão para fluxo, forneça uma equação de fluxo simplificada para cada coordenada de interesse.
b) Forneça uma equação diferencial simplificada em termo dos fluxos e outra equação diferencial em termos da concentração de oxigênio .
c) Liste as condições de contorno associadas ao processo de transferência de massa de oxigênio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre transporte de massa de oxigênio dissolvido em um filme líquido que está caindo. O que a gente precisa é simplificar a equação diferencial geral que descreve esse processo, entender os fluxos envolvidos e listar as condições de contorno. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de massa, como a lei de Fick, que relaciona o fluxo de massa com o gradiente de concentração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de transferência de massa, que geralmente é dada por:
Aqui, é a concentração do oxigênio e é o fluxo de massa de .

Passo 3

Mas, segundo as condições do problema:
  1. O processo é diluído, então podemos ignorar termos de reação.
  2. O perfil de velocidade é plano, com velocidade máxima á.
  3. O espaço de gás tem 100% de oxigênio.
  4. A largura do filme líquido é muito maior que o comprimento .
Essas simplificações nos indicam que podemos tratar o fluxo principalmente na direção do fluxo, reduzindo a equação para uma dimensão.

Passo 4

Como o fluxo é principalmente na direção , a equação de transferência de massa fica:
á
Aqui, é o coeficiente de difusão do oxigênio no líquido.

Passo 5

Então, a equação diferencial simplificada para transferência de na direção é:
á
Isso simplifica o problema para uma única dimensão, já que as outras direções são negligenciáveis devido à grande largura do filme.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos expressar a equação em termos de fluxos. O fluxo convectivo é á e o fluxo difusivo é .
Substituindo esses fluxos na equação geral:
O que simplifica para:
á

Passo 7

Agora, em termos da concentração , a equação diferencial permanece:
á
Isso mostra como a concentração de oxigênio varia ao longo do comprimento do filme líquido.

Passo 8

Por fim, na parte ©, precisamos listar as condições de contorno para esse processo de transferência de massa. Geralmente, temos:
  1. Condição na interface líquido-gas ( ):
    Onde é a concentração de oxigênio no equilíbrio na interface.
  2. Condição à medida que tende ao infinito ( ):
    Onde é a concentração de oxigênio distante da interface, geralmente a concentração no líquido sem transferência.

Resposta

Simplificamos a equação diferencial para transferência de na direção como:
á
Além disso, estabelecemos as condições de contorno:
  1. na interface ( )
  2. quando

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