Ao analisar o transporte de massa de oxigênio dissolvido no filme em queda, você pode assumir o seguinte: (1) o processo é diluído em relação ao oxigênio dissolvido no fluido; (2) O filme líquido em queda tem um perfil de velocidade plano com velocidade
; (3) o espaço de gás contém sempre
de oxigênio; (5) a largura do filme líquido, W, é muito maior que o comprimento do filme líquido, L.
a) Simplifique a equação diferencial geral para transferência de
. Se sua análise sugerir mais de uma dimensão para fluxo, forneça uma equação de fluxo simplificada para cada coordenada de interesse.
b) Forneça uma equação diferencial simplificada em termo dos fluxos e outra equação diferencial em termos da concentração de oxigênio
.
c) Liste as condições de contorno associadas ao processo de transferência de massa de oxigênio.
a) Simplifique a equação diferencial geral para transferência de
b) Forneça uma equação diferencial simplificada em termo dos fluxos e outra equação diferencial em termos da concentração de oxigênio
c) Liste as condições de contorno associadas ao processo de transferência de massa de oxigênio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre transporte de massa de oxigênio dissolvido em um filme líquido que está caindo. O que a gente precisa é simplificar a equação diferencial geral que descreve esse processo, entender os fluxos envolvidos e listar as condições de contorno. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de massa, como a lei de Fick, que relaciona o fluxo de massa com o gradiente de concentração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de transferência de massa, que geralmente é dada por:
Aqui,
é a concentração do oxigênio e
é o fluxo de massa de
.
Passo 3
Mas, segundo as condições do problema:
- O processo é diluído, então podemos ignorar termos de reação.
- O perfil de velocidade é plano, com velocidade máxima
. - O espaço de gás tem 100% de oxigênio.
- A largura do filme líquido
é muito maior que o comprimento .
Essas simplificações nos indicam que podemos tratar o fluxo principalmente na direção do fluxo, reduzindo a equação para uma dimensão.
Passo 4
Como o fluxo é principalmente na direção
, a equação de transferência de massa fica:
Aqui,
é o coeficiente de difusão do oxigênio no líquido.
Passo 5
Então, a equação diferencial simplificada para transferência de
na direção
é:
Isso simplifica o problema para uma única dimensão, já que as outras direções são negligenciáveis devido à grande largura
do filme.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos expressar a equação em termos de fluxos. O fluxo convectivo é
e o fluxo difusivo é
.
Substituindo esses fluxos na equação geral:
O que simplifica para:
Passo 7
Agora, em termos da concentração
, a equação diferencial permanece:
Isso mostra como a concentração de oxigênio varia ao longo do comprimento do filme líquido.
Passo 8
Por fim, na parte ©, precisamos listar as condições de contorno para esse processo de transferência de massa. Geralmente, temos:
-
Condição na interface líquido-gas (
): Ondeé a concentração de oxigênio no equilíbrio na interface. -
Condição à medida que
tende ao infinito ( ): Ondeé a concentração de oxigênio distante da interface, geralmente a concentração no líquido sem transferência.
Resposta
Simplificamos a equação diferencial para transferência de
na direção
como:
Além disso, estabelecemos as condições de contorno:
-
na interface ( ) -
quando
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