EXEMPLO 1.10: A temperatura na atmosfera perto da superfície da terra (até uma altura de 10.000 m ) pode ser aproximada por
. Determine a pressão a uma altura de 5.000 m . Dado:
. FONTE:[ Merle,C.Potter; David C. Wiggert (2004)].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a pressão atmosférica a uma altura de 5.000 metros. A gente sabe que na superfície da Terra (Z = 0) a pressão é de 100 kPa, e a temperatura varia com a altitude segundo a fórmula
em °C. Vamos usar conceitos de física atmosférica para isso, especificamente a fórmula barométrica que relaciona pressão e altitude considerando a variação da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da temperatura dada:
Aqui,
é a temperatura em °C na altitude Z em metros. Precisamos converter essa temperatura para Kelvin (K) porque as equações de gás ideal que vamos usar requerem a temperatura em Kelvin:
Então, a temperatura em Kelvin fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula barométrica que leva em conta a variação linear da temperatura com a altitude. A fórmula é:
Onde:
-
é a pressão na altitude Z que queremos encontrar. -
é a pressão ao nível do mar, que é 100 kPa. -
é a temperatura na altitude Z em Kelvin. -
é a temperatura ao nível do mar em Kelvin (quando Z = 0). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a taxa de variação da temperatura com a altitude ( ). -
é a constante dos gases para o ar seco ( ).
Passo 4
Vamos calcular
, a temperatura ao nível do mar:
Agora, vamos calcular a temperatura a 5.000 metros:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula barométrica:
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Calculando a razão das temperaturas:
Agora, elevamos esse valor ao expoente:
Por fim, multiplicamos pela pressão ao nível do mar:
Resposta
A pressão atmosférica a uma altura de 5.000 metros é aproximadamente 56,9 kPa.