EXEMPLO 1.10: A temperatura na atmosfera perto da superfície da terra (até uma altura de 10.000 m ) pode ser aproximada por T(Z)=20-0,0065 Z^circ C. Determine a pressão a uma altura de 5.000 m . Dado: P0=100 kPa, em Z=0. FONTE:[ Merle,C.Potter; David C. Wiggert (2004)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a pressão atmosférica a uma altura de 5.000 metros. A gente sabe que na superfície da Terra (Z = 0) a pressão é de 100 kPa, e a temperatura varia com a altitude segundo a fórmula em °C. Vamos usar conceitos de física atmosférica para isso, especificamente a fórmula barométrica que relaciona pressão e altitude considerando a variação da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da temperatura dada:
T(Z) = 20 - 0,0065 cdot Z
Aqui, T(K) = T(°C) + 273,15 é a temperatura em °C na altitude Z em metros. Precisamos converter essa temperatura para Kelvin (K) porque as equações de gás ideal que vamos usar requerem a temperatura em Kelvin:
T(Z) = 20 - 0,0065 cdot Z + 273,15 = 293,15 - 0,0065 cdot Z , K
Então, a temperatura em Kelvin fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula barométrica que leva em conta a variação linear da temperatura com a altitude. A fórmula é:
P = P0 cdot ( TT0 )^gL cdot R
Onde:
  • é a pressão na altitude Z que queremos encontrar.
  • é a pressão ao nível do mar, que é 100 kPa.
  • é a temperatura na altitude Z em Kelvin.
  • é a temperatura ao nível do mar em Kelvin (quando Z = 0).
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é a taxa de variação da temperatura com a altitude ( ).
  • é a constante dos gases para o ar seco ( ).

Passo 4

Vamos calcular T0 = 20 - 0,0065 cdot 0 + 273,15 = 293,15 , K , a temperatura ao nível do mar:
T(5000) = 293,15 - 0,0065 cdot 5000 = 293,15 - 32,5 = 260,65 , K
Agora, vamos calcular a temperatura a 5.000 metros:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula barométrica:
P = 100 , kPa cdot ( 260,65293,15 )^9,810,0065 cdot 287
Vamos calcular o expoente primeiro:
gL cdot R = 9,810,0065 cdot 287 approx 9,811,8655 approx 5,26
Então, a fórmula fica:
P = 100 , kPa cdot ( 260,65293,15 )^5,26

Passo 6

Calculando a razão das temperaturas:
260,65293,15 approx 0,889
Agora, elevamos esse valor ao expoente:
0,889^5,26 approx 0,569
Por fim, multiplicamos pela pressão ao nível do mar:
P = 100 , kPa cdot 0,569 approx 56,9 , kPa

Resposta

A pressão atmosférica a uma altura de 5.000 metros é aproximadamente 56,9 kPa.

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