Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(j) A série é uma série numérica convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca acaba. A série em questão é:
Nosso objetivo é descobrir se essa série “converge” ou “diverge”. Convergir significa que a soma tende a um número específico à medida que a gente vai somando mais e mais termos. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre séries numéricas e alguns testes de convergência que a gente aprende na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série convergir ou divergir. Uma série converge se, ao somar seus termos infinitamente, a soma se aproxima de um valor finito. Se isso não acontece, a série diverge.
Uma regra bem simples para a gente começar é: se o limite dos termos da série não for zero, a série definitivamente diverge. Ou seja, se quando a gente aumenta vai para o infinito e o termo geral da série não chega a zero, a soma nunca vai parar de crescer, então ela não converge.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral da série quando vai para o infinito:
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador para entender como eles se comportam quando fica bem grande.
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, percebemos que, para valores muito grandes de :
No numerador, é o termo que mais cresce, então .
No denominador, também temos como o termo dominante, então .
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 5
Calculamos que o limite do termo geral da série é 1. Como esse limite é diferente de zero (), de acordo com a regra que a gente viu antes, isso significa que a série não converge. Na verdade, ela diverge.
Resposta
A afirmação é falsa. A série diverge porque o limite dos termos não é zero.