Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(j) A série sumn=1^infty (n^3+1)^2(n^4+5)(n^2+1) é uma série numérica convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca acaba. A série em questão é:
sumn=1^infty (n^3+1)^2(n^4+5)(n^2+1)
Nosso objetivo é descobrir se essa série “converge” ou “diverge”. Convergir significa que a soma tende a um número específico à medida que a gente vai somando mais e mais termos. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre séries numéricas e alguns testes de convergência que a gente aprende na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série convergir ou divergir. Uma série converge se, ao somar seus termos infinitamente, a soma se aproxima de um valor finito. Se isso não acontece, a série diverge.
Uma regra bem simples para a gente começar é: se o limite dos termos da série não for zero, a série definitivamente diverge. Ou seja, se quando a gente aumenta vai para o infinito e o termo geral da série não chega a zero, a soma nunca vai parar de crescer, então ela não converge.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral da série quando limn to infty (n^3+1)^2(n^4+5)(n^2+1) vai para o infinito:
limn to infty n^6 + 2n^3 + 1n^6 + n^4 + 5n^2 + 5
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador para entender como eles se comportam quando fica bem grande.
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, percebemos que, para valores muito grandes de limn to infty n^6n^6 = 1 :
  • No numerador, é o termo que mais cresce, então .
  • No denominador, também temos como o termo dominante, então .
Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 5

Calculamos que o limite do termo geral da série é 1. Como esse limite é diferente de zero ( ), de acordo com a regra que a gente viu antes, isso significa que a série não converge. Na verdade, ela diverge.

Resposta

A afirmação é falsa. A série diverge porque o limite dos termos não é zero.

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Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(e) Se u_n for decrescente e u_n > 0 para todo n in N, então u_n é convergente.
Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: x = u + v, y = 3 u^2, z = u - v;
Verifique se wxy = wyx para w = e^x + x ln(y) + y ln(x).
Encontre a solução da EDO y' = -x/y e determine o campo de direções dela (Utilize algum software)