Encontre a solução da EDO
e determine o campo de direções dela (Utilize algum software)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para resolver essa EDO, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Além disso, vamos determinar o campo de direções usando um software, como o GeoGebra ou o Desmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a EDO nos diz. A equação
relaciona a derivada de
em relação a
com os valores de
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa relação.
Passo 3
Para resolver essa EDO, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro lado.
Começamos escrevendo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Como
é apenas uma constante geral, podemos renomeá-la como
:
Passo 6
Essa equação é a equação geral de um círculo com centro na origem
e raio
. Portanto, todas as soluções da EDO
são curvas circulares centradas na origem.
Para determinar o campo de direções, você pode usar um software como o GeoGebra ou o Desmos. Basta inserir a equação diferencial e o software irá plotar as curvas correspondentes, mostrando as direções das tangentes em cada ponto.
Resposta
A solução geral da EDO
é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Verifique se
para
.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(j) A série é uma série numérica convergente.
(j) A série
Seja
dada por:
Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
Seja
. Determine as direções de
e os valores de
para os quais: (b)
.