Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o vetor normal unitário associado à superfície parametrizada pelas equações:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies parametrizadas e vetores normais. Basicamente, o vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Vamos seguir passo a passo para encontrar esse vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função vetorial que representa a superfície parametrizada. Isso ajuda a visualizar melhor e calcular os vetores parciais necessários.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores parciais em relação a e . Esses vetores são essenciais para determinar o vetor normal.
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Passo 4
Com os vetores parciais e encontrados, vamos calcular o vetor normal usando o produto vetorial entre eles.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos transformar esse vetor normal em um vetor unitário. Para isso, precisamos calcular a magnitude do vetor e dividir cada componente por essa magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, dividimos cada componente do vetor normal pela sua magnitude para obter o vetor normal unitário :
Simplificando:
Resposta
O vetor normal unitário associado à superfície parametrizada é: