Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: x = u + v, y = 3 u^2, z = u - v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o vetor normal unitário associado à superfície parametrizada pelas equações:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies parametrizadas e vetores normais. Basicamente, o vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Vamos seguir passo a passo para encontrar esse vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função vetorial que representa a superfície parametrizada. Isso ajuda a visualizar melhor e calcular os vetores parciais necessários.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores parciais em relação a e . Esses vetores são essenciais para determinar o vetor normal.
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 4

Com os vetores parciais e encontrados, vamos calcular o vetor normal usando o produto vetorial entre eles.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos transformar esse vetor normal em um vetor unitário. Para isso, precisamos calcular a magnitude do vetor e dividir cada componente por essa magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, dividimos cada componente do vetor normal pela sua magnitude para obter o vetor normal unitário :
Simplificando:

Resposta

O vetor normal unitário associado à superfície parametrizada é:

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