Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária para analisar:
Estamos lidando com equações diferenciais, que são basicamente equações envolvendo derivadas. Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é separável, ou seja, se conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Se não for separável diretamente, vamos procurar uma substituição que facilite a separação. No final, vamos escolher uma das equações separáveis para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada de
em relação a
for igual à derivada de
em relação a
.
Aqui, e
.
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos buscar outra estratégia.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observando
que aparece tanto no seno quanto no cosseno, uma boa ideia é definir:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Vamos reorganizar a equação original para expressar
:
Substituindo na derivada de
:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial separável em termos de
e
:
Vamos separar as variáveis
e
:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, simplificamos a integral à esquerda. Sabemos que , então podemos reescrever:
Agora, a integral torna-se:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição adicional, mas como a questão pediu apenas escolher uma para resolver, vamos seguir adiante.
Resposta
Após separar as variáveis e integrar, obtemos a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que
e
são duas soluções da equação homogênea associada.
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
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