Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária para analisar:
Estamos lidando com equações diferenciais, que são basicamente equações envolvendo derivadas. Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é separável, ou seja, se conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Se não for separável diretamente, vamos procurar uma substituição que facilite a separação. No final, vamos escolher uma das equações separáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada de em relação a for igual à derivada de em relação a .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos buscar outra estratégia.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observando que aparece tanto no seno quanto no cosseno, uma boa ideia é definir:
Agora, vamos derivar em relação a :
Vamos reorganizar a equação original para expressar :
Substituindo na derivada de :

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial separável em termos de e :
Vamos separar as variáveis e :
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e .

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, simplificamos a integral à esquerda. Sabemos que , então podemos reescrever:
Agora, a integral torna-se:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição adicional, mas como a questão pediu apenas escolher uma para resolver, vamos seguir adiante.

Resposta

Após separar as variáveis e integrar, obtemos a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante de integração.

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