Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Você quer resolver a equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. Vamos abordar esse problema entendendo as equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicando o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por 12.17:
Aqui, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação homogênea linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada usando um fator integrante. O passo para encontrar o fator integrante é:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular . Nesse método, assumimos que a constante na solução homogênea não é constante, mas sim uma função de , ou seja, .
Então, a solução particular tem a forma:
Para encontrar , diferenciamos :
Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Os termos com se cancelam, ficando:
Resolvendo para :
Integrando ambos os lados para encontrar :
Fazendo uma substituição , , então:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante .
Então,

Passo 5

Substituímos na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
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Resolva as equações diferenciais, onde e são funções conhecidas: