Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Você quer resolver a equação diferencial
usando o método de variação dos parâmetros. Vamos abordar esse problema entendendo as equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicando o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por 12.17:
Aqui, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação homogênea linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada usando um fator integrante. O passo para encontrar o fator integrante
é:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular
. Nesse método, assumimos que a constante
na solução homogênea não é constante, mas sim uma função de
, ou seja,
.
Então, a solução particular tem a forma:
Para encontrar
, diferenciamos
:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam, ficando:
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Fazendo uma substituição
,
, então:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante
.
Então,
Passo 5
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.