Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples dividindo todos os termos por 12.11 para facilitar os cálculos:
Mas para simplificar ainda mais, vamos manter os coeficientes como estão para evitar complicações desnecessárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução da forma , substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 5

Com esses valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa:
Assumimos que a solução particular tem a forma:

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos a condição:

Passo 8

Substituindo e na equação diferencial, e usando a condição acima, obtemos:
Simplificando e coletando termos, chegamos a um sistema de equações para e .

Passo 9

Resolvendo o sistema, encontramos:
Onde é o determinante da matriz formada pelas soluções homogêneas.

Passo 10

Calculamos os integrais de e para encontrar e :
Após integrar, obtemos as expressões para e .

Passo 11

Finalmente, substituímos e na expressão de e somamos com a solução homogênea para obter a solução geral:
çã

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
çãéçãâ

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Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que e são duas soluções da equação homogênea associada.
Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.