Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples dividindo todos os termos por 12.11 para facilitar os cálculos:
Mas para simplificar ainda mais, vamos manter os coeficientes como estão para evitar complicações desnecessárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução da forma
, substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 5
Com esses valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa:
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos a condição:
Passo 8
Substituindo
e
na equação diferencial, e usando a condição acima, obtemos:
Simplificando e coletando termos, chegamos a um sistema de equações para
e
.
Passo 9
Resolvendo o sistema, encontramos:
Onde
é o determinante da matriz formada pelas soluções homogêneas.
Passo 10
Calculamos os integrais de
e
para encontrar
e
:
Após integrar, obtemos as expressões para
e
.
Passo 11
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
e somamos com a solução homogênea para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que
e
são duas soluções da equação homogênea associada.