Análise Exploratória de Dados
Exercício Escolar
Curso: Estatística
OBS: Use duas casas decimais para os cálculos
Sejam
e
variáveis e
ed constantes conhecidas, usando a definiçāo de correlação, mostre que:
Curso: Estatística
OBS: Use duas casas decimais para os cálculos
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos duas variáveis, $ X $ e $ Y $, e algumas constantes conhecidas $ a, b, c, d $. O objetivo é mostrar como a correlação entre transformações lineares dessas variáveis, especificamente $ aX + b $ e $ cY + d $, se relaciona com a correlação original entre $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos usar os conceitos de covariância e variância que fazem parte da Estatística, mais especificamente na Análise Exploratória de Dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é covariância e variância. A covariância entre duas variáveis $ X $ e $ Y $, denotada por $ \operatorname{Cov}(X, Y) $, mede como essas duas variáveis variam juntas. Já a variância de uma variável, como $ \operatorname{Var}(X) $, mede a dispersão dos valores em relação à média.
Além disso, a correlação entre $ X $ e $ Y $, denotada por $ \operatorname{Corr}(X, Y) $, é dada por:
Passo 3
Agora, vamos considerar as transformações lineares $ aX + b $ e $ cY + d $. Queremos encontrar a correlação entre essas novas variáveis, ou seja, $ \operatorname{Corr}(aX + b, cY + d) $.
Primeiro, vamos encontrar a covariância entre $ aX + b $ e $ cY + d $:
Passo 4
Sabemos que a covariância tem uma propriedade importante quando aplicamos transformações lineares. Especificamente:
O termo $ b $ e $ d $ desaparecem porque a covariância mede apenas a variação conjunta e constantes não afetam essa medida.
Passo 5
Agora, vamos calcular as variâncias das novas variáveis $ aX + b $ e $ cY + d $:
Novamente, os termos $ b $ e $ d $ desaparecem porque a variância mede a dispersão e constantes não alteram essa dispersão.
Passo 6
Com esses resultados, podemos agora calcular a correlação entre $ aX + b $ e $ cY + d $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. No denominador, temos:
Portanto, a expressão da correlação fica:
Passo 8
Observando que a definição da correlação original $ \operatorname{Corr}(X, Y) $ é:
Podemos substituir na expressão anterior: