Análise Exploratória de Dados 3^circ Exercício Escolar
Curso: Estatística
OBS: Use duas casas decimais para os cálculos
Sejam X e Y variáveis e a, b, c ed constantes conhecidas, usando a definiçāo de correlação, mostre que:
P=Cov(x, y)raizvar(x) times Var(y) Corr(a X+b, c Y+d)=a c|a c| Corr(X, Y)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos duas variáveis, $ X $ e $ Y $, e algumas constantes conhecidas $ a, b, c, d $. O objetivo é mostrar como a correlação entre transformações lineares dessas variáveis, especificamente $ aX + b $ e $ cY + d $, se relaciona com a correlação original entre $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos usar os conceitos de covariância e variância que fazem parte da Estatística, mais especificamente na Análise Exploratória de Dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é covariância e variância. A covariância entre duas variáveis $ X $ e $ Y $, denotada por $ \operatorname{Cov}(X, Y) $, mede como essas duas variáveis variam juntas. Já a variância de uma variável, como $ \operatorname{Var}(X) $, mede a dispersão dos valores em relação à média.
Além disso, a correlação entre $ X $ e $ Y $, denotada por $ \operatorname{Corr}(X, Y) $, é dada por:
X

Passo 3

Agora, vamos considerar as transformações lineares $ aX + b $ e $ cY + d $. Queremos encontrar a correlação entre essas novas variáveis, ou seja, $ \operatorname{Corr}(aX + b, cY + d) $.
Primeiro, vamos encontrar a covariância entre $ aX + b $ e $ cY + d $:
aX + b

Passo 4

Sabemos que a covariância tem uma propriedade importante quando aplicamos transformações lineares. Especificamente:
Cov(aX + b, cY + d) = a times c times Cov(X, Y)
O termo $ b $ e $ d $ desaparecem porque a covariância mede apenas a variação conjunta e constantes não afetam essa medida.

Passo 5

Agora, vamos calcular as variâncias das novas variáveis $ aX + b $ e $ cY + d $:
aX + b
cY + d
Novamente, os termos $ b $ e $ d $ desaparecem porque a variância mede a dispersão e constantes não alteram essa dispersão.

Passo 6

Com esses resultados, podemos agora calcular a correlação entre $ aX + b $ e $ cY + d $:
aX + b
Substituindo os valores que encontramos:
cY + d

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. No denominador, temos:
raiza^2 times c^2 times Var(X) times Var(Y) = |a times c| times raizVar(X) times Var(Y)
Portanto, a expressão da correlação fica:
Corr(aX + b, cY + d) = a times c times Cov(X, Y)|a times c| times raizVar(X) times Var(Y)

Passo 8

Observando que a definição da correlação original $ \operatorname{Corr}(X, Y) $ é:
Corr(X, Y)
Podemos substituir na expressão anterior:
Corr(X, Y) = Cov(X, Y)raizVar(X) times Var(Y)

Resposta

Corr(aX + b, cY + d) = a times c|a times c| times Corr(X, Y)

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